Hiperbolne funkcije

Graf osnovnih hiperbolnih funkcija

Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole, apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a, sh a) zatvaraju površinu ploštine a/2.

Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.

Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x² + y² = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x² - y² = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)² = −y².

Osnovne hiperbolne funkcije

Osnovne hiperbolne funkcije su:

• sinus hiperbolni: $\mathrm{sh}x=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
• kosinus hiperbolni: $\mathrm{ch}x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:

• tangens hiperbolni: $\mathrm{th}x=\tanh x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
• kotangens hiperbolni: $\mathrm{cth}x=\coth x=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{1}{\mathrm{th}x}$

Rijetko se koriste:

• sekans hiperbolni: $\mathrm{sech}x=\frac{1}{\mathrm{ch}x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$
• kosekans hiperbolni: $\mathrm{cosech}x=\frac{1}{\mathrm{sh}x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

Area funkcije

Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:

• area sinus hiperbolni, Arsh
• area kosinus hiperbolni, Arch
• area tangens hiperbolni, Arth
• area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.

Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.

Jednakosti

$\mathrm{Arsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

$\mathrm{Arch}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1}),x\ge 1$

$\mathrm{Arth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},\left|x\right|<1$

$\mathrm{Arcth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1},\left|x\right|>1$

Derivacije

$\begin{array}{cc}{\mathrm{sh}}^{\prime }x& =\mathrm{ch}x\\ {\mathrm{ch}}^{\prime }x& =\mathrm{sh}x\\ {\mathrm{th}}^{\prime }x& =1-{\mathrm{th}}^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}\\ {\mathrm{cth}}^{\prime }x& =1-{\mathrm{cth}}^{2}x=-{\mathrm{cosech}}^{2}x=-\frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}& & x\ne 0\\ {\mathrm{sech}}^{\prime }x& =-\mathrm{th}x\mathrm{sech}x\\ {\mathrm{cosech}}^{\prime }x& =-\mathrm{cth}x\mathrm{cosech}x& & x\ne 0\\ {\mathrm{Arsh}}^{\prime }x& =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ {\mathrm{Arch}}^{\prime }x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}& & x>1\\ {\mathrm{Arth}}^{\prime }x& =\frac{1}{1-x^2}& & |x|<1\\ {\mathrm{Arcth}}^{\prime }x& =\frac{1}{1-x^2}& & |x|>1\\ {\mathrm{Arsech}}^{\prime }x& =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}& & 0<x<1\\ {\mathrm{Arcosech}}^{\prime }x& =-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}& & x\ne 0\end{array}$

Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.

Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{sh}}^{″}x& =\mathrm{sh}x\\ {\mathrm{ch}}^{″}x& =\mathrm{ch}x\end{array}$

Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući e^x i e^−x) su linearne kombinacije sh i ch.

Vidi i

• Popis integrala hiperbolnih funkcija
• Popis integrala inverznih hiperbolnih funkcija

Vanjske poveznice

• Hiperbolne funkcije, Hrvatska enciklopedija
• Elementarne funkcije, grad.hr

Predložak:Trigonometrijske funkcije