Jedinična kružnica

Koordinate na jediničnoj kružnici

Jedinična, brojevna ili trigonometrijska kružnica definirana je kao kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava (0, 0) i polumjerom odnosno radijusom 1. Jedinična kružnica siječe x-os u točkama (-1,0) i (1,0) i y-os u točkama (0, 1) i (0, -1).

Ortogonalna projekcija točke $A(x,y)$ na x-os je $A_1(x,0)$, a na y-os $A_2(0,y)$. Dužine $O{A}_1$ i $O{A}_2$ su katete pravokutnog trokuta $O{A}_1{A}_2$ čije su dužine x i y.

$\cos \theta$ je horizontalna, a $\sin \theta$ vertikalna dužina. Kut $\theta$ je u standardnom položaju. Prema definicijama funkcija sinus i kosinus dobivamo sljedeće jednakosti:

$\sin \theta =\frac{y}{1}=y$

$\cos \theta =\frac{x}{1}=x$

$\mathrm{tg}\theta =\frac{y}{x}$

Ako su (x, y) točke na kružnici u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravokutnog trokuta (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (polumjer) 1. Prema Pitagorinom poučku x i y zadovoljavaju jednadžbu

$x^2+y^2=1$

Budući da uvijek vrijedi $x^2=(-x{)}^2$, prethodna jednadžba vrijedi za sve točke (x, y) na jediničnoj kružnici, a ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije na jediničnoj kružnici (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravokutnih trokuta mogu se prikazati odnosi između koordinata i kutova na jediničnoj kružnici. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu se na jediničnoj kružnici definirati na sljedeći način: ako je (x, y) točka na jediničnoj kružnici i ako dužina od ishodišta do točke (x, y) čini kut t s pozitivnim dijelom apscise (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada vrijedi:

$\cos \theta =x$

$\sin \theta =y$

Jednadžba $x^2+y^2=1$ daje poznatu relaciju

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Jedinična kružnica također daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

$\cos t=\cos (2k\pi +t)$

$\sin t=\sin (2k\pi +t)$

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate točke na krugu ostaju iste ako kut t napravi bilo koji broj okreta po kružnici (1 okret = 360° = 2π radijana).

Pri radu s pravokutnim trokutima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je kut veći od 0 i manji od $\frac{\pi }{2}$. Koristeći jediničnu kružnicu, ove funkcije dobivaju smisao za bilo koju realnu vrijednost kuta. Ako je točka A točka jedinične kružnice onda su njene koordinate

$A(0)=A(2\pi )=(1,0)$

$A(\pi /2)=(0,1)$

$A(\pi )=(-1,0)$

Druge točke su određene koordinatama $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$

Zamjenom $t=\frac{p}{q}$ dobivamo Pitagorine trojke $(q^2-p^2,2pq,q^2+p^2)$.

Kompleksna ravnina

U kompleksnoj ravnini jedinična kružnica predstavljena je skupom $G\subset ℂ$

$G=\{z:\mathrm{Re}(z{)}^2+\mathrm{Im}(z{)}^2=1\}=\{z:z=e^{i\varphi },0\le \varphi <2\pi \}$

Jedinična kružnica pojavljuje se i u polarnom rastavu kompleksnog broja:

$z=r{e}^{i\phi }=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r\mathrm{cis}\varphi$

Faktor e^iφ koji opisuje fazu broja nalazi se na jediničnoj kružnici.

Ta kružnica ima i druga korisna svojstva. Primjerice, bilo koja realna potencija broja na jediničnoj kružnici također se nalazi na jediničnoj kružnici, što olaškava potenciranje kompleksnih brojeva:

$z^a=r^a{\left(e^{i\phi }\right)}^a=r^a{e}^{ia\phi }=r^a\mathrm{cis}a\phi$

Vidi i

• Kut
• Sinus
• Kosinus
• Trigonometrija
• Eulerova formula

Izvori

• Unit Circle
• Jedinični krug