Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka $(D,K,f)$ koja sadrži skupove $D$, $K$ i neko pravilo $f:D\to K$ po kojem se svakom članu $x\in D$ pridružuje jedinstveni član $y\in K$ tako da je $y=f(x)$.

Skup $D$ se naziva područje definicije ili domena funkcije $f$, a skup $K$ područje vrijednosti ili kodomena funkcije $f$. Član domene $x$ je nezavisna varijabla ili argument funkcije $f$, a član kodomene $y$ je zavisna varijabla funkcije $f$.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo $f:D\to K$. Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo $x\mapsto y=f(x)$.

Jednakost funkcija

Funkcije $f$ i $g$ su jednake, što zapisujemo sa $f=g$, ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. $D_f=D_g$;
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. $f(x)=g(x),\mathrm{\forall }x\in A$.

Na primjer, funkcije $f(x)=\frac{x^2}{x}$ i $g(x)=x$ nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod $f(x)$ skrati razlomak, dobijemo $f(x)=x$.
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija $f(x)$ nema vrijednost za $x=0$. Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$, skup realnih brojeva bez nule. Domena $D_g=ℝ$, čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, $f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime },\mathrm{\forall }x\in D_f,\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in D_f$
ili ekvivalentnu tvrdnju $\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in D\text{ takve da }x\ne x^{\prime },f(x)\ne f(x^{\prime })$.

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s $R_f$.

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni $R_f=K$.
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis: $\mathrm{\forall }y\in K\mathrm{\exists }x\in D,f(x)=y$. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija $i_X:X\to X$ definirana s $i_X(x)=x,\mathrm{\forall }x\in X$.

Ostala svojstva

• involutivnost: kažemo da je funkcija (operacija) involucija (lat. obavijanje) ako je $f(f(x))=x$ za svaki $x$ iz njezine domene. Primjeri takvih funkcija, odnosno operacija, uključuju logičku negaciju (jer je $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }P)=P$), tako i negaciju realnih brojeva ($-(-x)=x$), komplementiranje u teoriji skupova (npr. $({𝒰}^c{)}^c={\mathrm{\varnothing }}^c=𝒰$), centralnu simetriju u euklidskoj geometriji i sl.
• idempotentnost: kažemo da je funkcija (operacija) idempotencija (lat. idem – isto, potentem – imati moć) ako je $f(f(x))=f(x)$ za svaki $x$ iz njezine domene. Ugrubo, to znači da neka operacija daje isti rezultat bilo da se izvršava jednom ili više puta.

Graf funkcije

Graf funkcije $f(x)=x^2$

Graf funkcije $f$ jest skup točaka $(x,y)$ ravnine ${ℝ}^2$ za koje vrijedi $y=f(x)$ te čine krivulju. Formalnije, to je skup $G(f)\subseteq {ℝ}^2,G(f)=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x\in D_f,y=f(x)\}$.

Vidi još

• Funkcija identiteta
• Konstantna funkcija
• Nulfunkcija
• Linearna funkcija
• Kvadratna funkcija
• Kubna funkcija
• Polinomna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Trigonometrijske funkcije