Linearna kombinacija

Linearna kombinacija vektora osnovni je pojam teorije vektorskih prostora u linearnoj algebri.

Neka je $V$ $n$-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem $𝔽$ te neka je $v_1,v_2,...,v_k\in V,{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_k\in 𝔽.$ Tada se suma ${\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+...+{\alpha }_k{v}_k$ naziva linearna kombinacija vektora $v_1,v_2,...,v_k$.

Unatoč svojoj jednostavnosti, pojam linearne kombinacije često se smatra ishodišnom točkom u daljnjem proučavanju vektorskih prostora i svojstava vektora.

Linearna ljuska

Neka imamo linearno nezavisan skup vektora, iako će isto vrijediti i ako je skup linearno zavisan, $S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ koji je podskup vektorskog prostora $V$. Skup svih linearnih kombinacija vektora ${\alpha }_1{v}_1,{\alpha }_2{v}_2,...,{\alpha }_n{v}_n$ naziva se linearna ljuska ili rjeđe linearni omotač skupa $S$ i označava se s $[S]$. Dakle, $[S]=\{{\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+...+{\alpha }_n{a}_n:n\in \mathbb{N},a_1,a_2,...,a_n\in S,{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n\in 𝔽\}.$ Nije teško pokazati da je linearna ljuska najmanji vektorski potprostor vektorskoga prostora koji sadržava sve konačne linearne kombinacije elemenata danoga skupa vektora. $[S]$ se naziva potprostorom generiranim ili razapetim skupom $S$.

Geometrija ravnine

Linearnom kombinacijom dva bazna vektora $i,j$ realne ravnine ${ℝ}^2$ dobivamo čitavu ravninu ${ℝ}^2$. To je zato što se svaka usmjerena dužina, koja je zadana svojom krajnjom točkom $(x,y)$, može dobiti kao linearna kombinacija vektora $i,j$.

To je očito kod slučaja kada su $i,j$ jedinični vektori (orti) koji redom leže na apscisnoj i ordinatnoj osi s početnom točkom u ishodištu koordinatnog sustava. Naime, tada je svaki vektor $v$ s krajnjom točkom $(x,y)$ moguće prikazati kao $v=xi+yj$.