Cijeli broj

Cijeli brojevi proširenje su skupa prirodnih brojeva neutralnim elementom za zbrajanje, nulom, i brojevima koji su njima suprotni, to jest brojevima s kojima zbrojeni daju nulu.

Skup prirodnih brojeva nije zatvoren za oduzimanje – razlika dva prirodna broja može, ali ne mora biti prirodan broj. Algebarska struktura skupa prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ nije grupa s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element $n\in \mathbb{N}$ ne postoji njemu inverzan element $-n\in \mathbb{N}$. Da bismo odredili svaku razliku $a-b$ gdje su $a,b\in \mathbb{N}$ koju definiramo sa $a+(-b)$, gdje je sa $-b$ označen inverzni element od $b\in \mathbb{N}$, proširujemo skup $\mathbb{N}$ s takvim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva $\mathbb{Z}$ je upravo takva aditivna grupa:

$\mathbb{Z}=\{...,-2,-1\}\cup \{0\}\cup \mathbb{N}=\{0,-1,1,-2,2,...\}$

Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$.

Element 0 sa svojstvom da je $a+0=0+a=a,\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$ nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi $a+(-a)=(-a)+a=0,\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$, pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.

No, skup cijelih brojeva $\mathbb{Z}$ čini također i komutativni prsten zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da $0\cdot x=a$ u njemu nema rješenje (kao ni u jednom drugom prstenu brojeva). Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. On najvećeg (maksimalnog), ali ni najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva, to jest postoji bijekcija iz $\mathbb{N}$ u $\mathbb{Z}$.