Bernsteinov polinom

Aproksimacija grafa funkcije upotrebom Bernsteinovog polinoma.

Bernsteinov polinom se može uzeti kao aproksimacija funkcije neprekidne na segmentu i to je polinom koji služi kao primjer za Weierstrassov teorem o aproksimaciji neprekidne funkcije na segmentu polinomom, koji govori da se razlika između funkcije i traženog polinoma (teorem ne daje metodu kako da se polinom nađe, nego samo utvrđuje postojanje) može napraviti proizvoljno malom, tj. $(\mathrm{\forall }ϵ>0)(|f(x)-P(x)|<ϵ)$ gdje je P traženi polinom.

Bernsteinov polinom glasi (u slučaju segmenta $[0,1]$):

$\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}$

Gdje je f funkcija neprekidna na segmentu realnih brojeva. Bernsteinov polinom se jednostavno izračunava: segment [0, 1] se podijeli na n jednakih dijelova i u dobivenim točkama $0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{n-1}{n},1$ se računaju vrijednosti funkcije.

U slučaju segmenta $[a,b]$ Bernsteinov polinom glasi:

$\frac{1}{(b-a{)}^n}\sum _{k=0}^{n}f(a+\frac{k}{n}(b-a))(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-a{)}^k(b-x{)}^{n-k}$

Vidi još

• Binomni koeficijent