Binomni koeficijent

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao:

$(\binom{n}{k})$

i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana $x^{k}$ polinomne ekspanzije binomne potencije oblika $(1 + x)^{n}$ . Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:

$\frac{n!}{k! (n - k)!}$

Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi

Svojstvo simetrije:^[1]Predložak:Is

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$

Kombinatorni dokaz.

Oznaka $(\binom{n}{k})$ predstavlja broj $k$ -članih podskupova $n$ -članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od $k$ elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih $n - k$ elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta^[1]Predložak:Is ili tzv. Pascalovo pravilo:

$(\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) = (\binom{n}{k})$

Kombinatorni dokaz.

Neka tražimo broj $k$ -članih skupova od prvih $n$ prirodnih brojeva ( ${1, 2, . . ., n}$ ).

Neka je $S$ skup svih takvih $k$ -članih podskupova $n$ -članog skupa. Vrijedi $| S | = (\binom{n}{k})$ .

Izaberimo neki element $x$ iz ${1, 2, . . ., n}$ . Neka je $S_{1}$ skup podskupova iz $S$ koji sadrže $x$ . Njih ima $| S_{1} | = (\binom{n - 1}{k - 1})$ jer preostalih $n - 1$ brojeva iz ${1, 2, . . ., n}$ (ne možemo opet birati $x$ jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih $k - 1$ mjesto. Neka je pak s druge strane $S_{2}$ skup podskupova iz $S$ koji ne sadrže $x$ . Ima ih $| S_{2} | = (\binom{n - 1}{k})$ jer sada raspoređujemo sve elemente iz ${1, 2, . . ., n}$ osim elementa $x$ , njih $n - 1$ , na svih $k$ mjesta jer na nijednom mjestu nije element $x .$

Očito je $| S_{1} | + | S_{2} | = | S |$ , čime je tvrdnja dokazana.

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Za proizvoljan realni broj $α$ binomni koeficijent se definira formulama:^[2]

$(\binom{α}{0}) = 1, (\binom{α}{k}) = \frac{α (α - 1) \cdot \cdot \cdot (α - k + 1)}{k!}$

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput $(\binom{\frac{- 1}{2}}{k})$ ili, između ostalog, da se $(1 + x)^{α}$ razvije u red za $x \in (- 1, 1)$ .

Izvori

Predložak:Izvori

Predložak:Mrva-mat

↑ ^1,0 ^1,1 Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000.
↑ Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)

[M4-1] 1,0 ^1,1 Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000.

[2] Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)

[1]

[2]

Binomni koeficijent

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Izvori

Navigacijski izbornik

Traži