Polinom

Polinom je matematička funkcija s jednom ili više varijabla koja se može zapisati kao linearna kombinacija umnožaka njihovih potencija, odnosno kao zbroj monoma sastavljenih od umnožaka konstante i kombinacija potencija svake od varijabla. Polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli je funkcija

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$

u kojoj su koeficijenti je $a_0$, $a_1$,..., $a_n$ konstante i $a_n\ne 0$. Broj $a_0$ zove se slobodni koeficijent, a broj $a_n$ vodeći koeficijent.

Polinomi se skraćeno zapisuju pomoću simbola za zbrajanje,

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ .

Ponekad se polinomom zove sam polinomni izraz sa zbrojem raznih potencija neke veličine ili izraza, pa se pripadna funkcija navodi kao polinomna funkcija.

Stupanj polinoma $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0$ za $a_n\ne 0$ je broj $n$. Pišemo $\text{deg}P=n$.

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te su česti u drugim granama znanosti poput fizike i računarstva.

Monomi, binomi, trinomi, itd.

Pribrojnici u polinomu nazivaju se monomi; oni su i sami polinomi s jednim članom. Monom je umnožak konstante i bilo koje kombinacije potencija varijabla. Tako su, na primjer

$-7x^2$,  $3x^{2}y$,  $-\frac{1}{4}x{y}^5{z}^2$,  $\xi y^4$

monomi u varijablama $x$, $y$ i $z$.

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana je trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak trinomu u dvije varijable:

$P(x,y)=(\underset{\text{binom}}{\underbrace{x-y}}{)}^2=\underset{\text{trinom}}{\underbrace{x^2-2xy+y^2}}$

$P(x,y)=(\underset{\text{binom}}{\underbrace{x^2+y}}{)}^2=\underset{\text{trinom}}{\underbrace{x^4+2x^{2}y+y^2}}$

Nul-polinom

Ako je polinom jednak nuli za sve vrijednosti svojih varijabli nazivamo ga nul-polinom i za nj ne definiramo stupanj (ili se ponegdje formalno uzima da je njegov stupanj $-\mathrm{\infty }$ ili $-1$, ovisno o autoru).

Računske operacije s polinomima

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila. Rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom: očigledan primjer je dijeljenje polinoma $n$-tog stupnja polinomom $m$-tog stupnja kada je $n<m$.

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s $(-1)$ te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

Primjeri

Uzmimo $P(x)=x^2+x-2$ i $Q(x)=x-1$.

Njihovi zbroj i umnožak su:

$P(x)+Q(x)=x^2+2x-3$,

$P(x)\cdot Q(x)=x^3-3x+2$.

Opišimo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati $\frac{P(x)}{Q(x)}=R(x).$

Ta jednadžba ekvivalentna je s $x^2+x-2=(x-1)R(x).$ Prvi član polinoma $R(x)$ jednak je $x$ jer množenjem s $(x-1)$ mora dati član s jediničnim koeficijentom najveće potencije 2: $(x^2+x-2)=(x-1)(x+\dots )$

Ostatak (...) je neki polinom $T(x)$ pa u prvom koraku imamo

$(x^2+x-2)=(x-1)(x+T(x))$

$(x^2+x-2)=x^2-x+(x-1)T(x)$.

Dobivamo $2x-2=(x-1)T(x)$ čime je problem dijeljenja sveden na dijeljenje polinoma stupnja nižeg za 1.

U drugom koraku rješavamo $2x-2=(x-1)T(x)$.

$T(x)$ može jedino biti polinom stupnja 0 jer množeći $(x-1)$ ne smije dati potencije veće od 1: $2x-2=(x-1)(2+\dots )$.

Ostatak (...) može biti samo nulpolinom, tj. 0. Mogli smo uočiti da je $2x-2=(x-1)\cdot 2$.

Rješenje je $R(x)=(x+2+0)$, odnosno $R(x)=x+2$.

Uporaba polinoma

Zbog jednostavnosti računanja s polinomima, posebno njihovog strojnog izvrjednjavanja, vrijedosti mnogih drugih funkcija često se aproksimiraju polinomom određenog stupnja na određenom intervalu. Ako je vrijednost funkcije poznata u konačno mnogo točaka, vrijednosti između točaka mogu se procijeniti interpolacijom iz polinoma koji u tim točkama daje egzaktne vrijednosti ili regresijom uz pomoć polinoma po volji izabranog stupnja koji po svim poznatim točkama daje najmanju pogrešku.

• 
  Vrijednosti nepoznate funkcije poznate su u sedam točaka
• 
  Vrijednosti između točaka mogu se procijeniti linearnom interpolacijom od točke do točke
• 
  Vrijednosti između točaka procijenjene interpolacijskim polinomom šestoga stupnja

Nultočke polinoma

U primjeni, kao i u teoriji, često je potrebno znati u kojim točkama polinomi poprimaju vrijednost nula. Te se točke nazivaju nultočkama ili korijenima polinoma. Ako je $\alpha$ nultočka polinoma $P(x)$, vrijedi $P(\alpha )=0$. Prema Bézoutovom poučku za polinome, $(x-\alpha )$ tada dijeli $P(x)$. Iz ovog poučka i osnovnog teorema algebre, koji kaže da svaki polinom stupnja većeg od nule ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva, slijedi da svaki polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n nultočaka u skupu kompleksnih brojeva, s tim da pritom neke nultočke mogu biti višestruke kratnosti, odnosno da za neke nultočke može i $(x-\alpha {)}^k$ dijeliti $P(x)$, gdje se najveći takav $k$ naziva kratnošću nultočke. Vrijedi i sljedeće: ako su ${\alpha }_1$,${\alpha }_2$, ..., ${\alpha }_n$ kompleksne nultočke polinoma $P(x)$ s vodećim koeficijentom $a_n$, on se može na jedinstven način zapisati kao umnožak n polinoma prvoga stupnja,

$P(x)=a_n(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\dots (x-{\alpha }_n)$