Asocijativnost

Asocijativnost u zbrajanju: 2+(1+3) = (2+1)+3

U matematici, asocijativnost je svojstvo koje može imati binarna operacija. Aritmetičke operacije koje imaju svojstvo asocijativnosti su zbrajanje i množenje.

Definicija

Za binarnu operaciju $\circ :K\times K\to K$ se kaže da je asocijativna nad skupom K ako za svako $a,b,c\in K$ vrijedi:

$a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$

Iz asocijativnosti operacije $\circ$ slijedi da u gore navedenim izrazima redoslijed operacija ne igra ulogu, te je i zapis u kojem prioritet nije naznačen jednoznačno određen: $a\circ b\circ c$

Primjeri

Neki primjeri asocijativnih operacija:

• U aritmetici, zbrajanje i množenje realnih brojeva, tj.

$\begin{array}{c}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\\ (xy)z=x(yz)=xyz\end{array}\}\text{za sve }x,y,z\in ℝ.$

Zagrade možemo izostaviti zbog svojstva asocijativnosti.

• Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva i kvaterniona.

• Funkcije za najveći zajednički djelitelj te najmanji zajednički višekratnik:

$\begin{array}{c}\mathrm{D}(\mathrm{D}(x,y),z)=\mathrm{D}(x,\mathrm{D}(y,z))=\mathrm{D}(x,y,z)\\ \mathrm{V}(\mathrm{V}(x,y),z)=\mathrm{V}(x,\mathrm{V}(y,z))=\mathrm{V}(x,y,z)\end{array}\}\text{ za sve }x,y,z\in \mathbb{Z}.$

• Presjek i unija skupova:

$\begin{array}{c}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}\}\text{za sve skupove }A,B,C.$

• Množenje matrica.

• Logičke operacije ILI, I, XILI te XNILI.