Realni broj

Datoteka:Odnos skupova brojeva.png

Odnos skupova brojeva

Skup realnih brojeva $ℝ$ je unija skupa racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$ i skupa iracionalnih brojeva.

Računske operacije na skupu $ℝ$ su definirane kao i za ostale skupove $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$, tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

• Skup $ℝ$ je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
• Skup $ℝ$ je neprebrojiv.
• Elementi skupa $ℝ$ prekrivaju čitav brojevni pravac.

Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je polja.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva

Za polje realnih brojeva vrijedi:Predložak:Is

(R1) $a+b\in ℝ,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$ (zatvorenost zbrajanja)

(R2) $(a+b)+c=a+(b+c),\mathrm{\forall }a,b,c\in ℝ$ (asocijativnost zbrajanja)

(R3) $a+0=a,\mathrm{\forall }a\in ℝ$ (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4) $(\mathrm{\forall }a\in ℝ)(\mathrm{\exists }-a\in ℝ)(a+(-a)=0)$ (postojanje suprotnog broja)

(R5) $a+b=b+a,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$ (komutativnost zbrajanja)

(R6) $ab\in ℝ,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$ (zatvorenost množenja)

(R7) $(ab)c=a(bc),\mathrm{\forall }a,b,c\in ℝ$ (asocijativnost množenja)

(R8) $a\cdot 1=a,\mathrm{\forall }a\in ℝ$ (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9) $(\mathrm{\forall }0\ne a\in ℝ)(\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in ℝ)(a{a}^{-1}=1)$ (postojanje inverznog broja)

(R10) $ab=ba,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$ (komutativnost množenja)

(R11) $a(b+c)=ab+ac,\mathrm{\forall }a,b,c\in ℝ$ (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)' $(a+b)c=ac+bc,\mathrm{\forall }a,b,c\in ℝ$ (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

Uređaj na skupu realnih brojeva

Realni broj $a$ manji je od realnog broja $b$ ako postoji pozitivan realni broj $p$ takav da je $a+p=b$. Uređaj ima sljedeća svojstva:Predložak:Is

• tranzitivnost uređaja: $a<b\wedge b<c⟹a<c$
• odnos uređaja prema zbrajanju: $a<b⟹a+x<b+x,\mathrm{\forall }x\in ℝ$
• odnos uređaja prema množenju: $a<b⟹ax<bx,\mathrm{\forall }x>0$ i $a<b⟹ax>bx,\mathrm{\forall }x<0$

Realni broj kao presjek niza padajućih segmenata

Za svaki realni broj $x$ postoji padajući niz segmenata

$[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset [a_3,b_3]\supset \dots$

u čijem se presjeku nalazi samo realni broj $x$. Zanimljivo je da se $a_k,b_k$ mogu izabrati tako da budu racionalni brojevi.