Kvaternion

Ploča posvećena Williamu Rowanu Hamiltonu

U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju s i, j i k i za koje vrijedi:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.

Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:

$ij=-ji=k$

$jk=-kj=i$

$ki=-ik=j$

Skup kvaterniona se označava sa $ℍ$ u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.

Definicija

U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.

Kvaternion $q=a+b𝐢+c𝐣+d𝐤$, sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion $b𝐢+c𝐣+d𝐤$).

Prostorne matematičke operacije

Konjugacija

Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original $q=a+b𝐢+c𝐣+d𝐤$, konjugat q* znosi $q^{*}=a-b𝐢-c𝐣-d𝐤$. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj s kompleksnim brojevima:

$q^{*}=-\frac{1}{2}(q+𝐢q𝐢+𝐣q𝐣+𝐤q𝐤).$

Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom $\frac{1}{2}(p+p^{*})$ dok je vektorski dio jednak $\frac{1}{2}(p-p^{*})$.

Modul ili norma

Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:

$\Vert q\Vert =\sqrt{q{q}^{*}}=\sqrt{q^{*}q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

Jedinični kvaternion

Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:

$U_q=\frac{q}{\Vert q\Vert }$

Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: $q=\Vert q\Vert \cdot U_q$.

Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme:

$q^{-1}=\frac{q^{*}}{\Vert q\Vert }$