Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora $\mathrm{\nabla }$, što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

$\mathrm{\nabla }\equiv \widehat{𝐱}\frac{\partial }{\partial x}+\widehat{𝐲}\frac{\partial }{\partial y}+\widehat{𝐳}\frac{\partial }{\partial z},$

a definicija operatora $\mathrm{\nabla }$ u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija	Notacija
Gradijent	$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f$
Rotacija	$\mathrm{rot}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$
Divergencija	$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$
Laplasijan	$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$

Najpoznatiji teoremi

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv	Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula	$\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)=\underset{L}{\int }\mathrm{\nabla }\phi \cdot d𝐫.$
Greenov teorem	$\underset{C}{\int }(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$
Stokesov teorem	$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐅\cdot d𝐫,$
Gaussov teorem	$\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot d𝐒,$

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija
• Gradijent
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama