Vektorsko polje

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka $X_0$ označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu $(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k);k=\dim D$, tj.

$X_0=\{\overrightarrow{OM}|M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in {ℝ}^n\}$

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je $D\subseteq {ℝ}^n$ skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

$𝐅:D\mapsto X_0$

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Datoteka:Potencijalno v polje.png

Potencijalno vektorsko polje

Datoteka:Solenoidno vektorsko polje.png

Solenoidno vektorsko polje

Datoteka:Laplaceovo Vektorsko Polje.png

Laplaceovo vektorsko polje

Opće vektorsko polje

Transformacije sustava

Neka je $S\subseteq {ℝ}^n$ i $V_x:S\mapsto {ℝ}^n$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je $Y$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu $Y$:

$V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}{V}_x.$

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad ${ℝ}^4$, gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena $(x,y,z,t)$ pridružene brzine

$\overrightarrow{v}(x,y,z,t)=v_x(x,y,z,t)\overrightarrow{ı}+v_y(x,y,z,t)\overrightarrow{ȷ}+v_z(x,y,z,t)\overrightarrow{k}$,

• Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
• Opis magnetskog djelovanja,
• Opis električnog djelovanja,
• Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

$\text{rot}\overrightarrow{W}=0\text{ (svuda)}$

$\text{div}\overrightarrow{W}\ne 0\text{ (barem u nekim točkama)}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

$\text{rot}\overrightarrow{W}\ne 0\text{ (barem u nekim točkama)}$

$\text{div}\overrightarrow{W}=0\text{ (svuda)}$

• Laplaceovo:

$\text{rot}\overrightarrow{W}=0\text{ (svuda)}$

$\text{div}\overrightarrow{W}=0\text{ (svuda)}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

$\text{rot}\overrightarrow{W}\ne 0\text{ (barem u nekim točkama)}$

$\text{div}\overrightarrow{W}\ne 0\text{ (barem u nekim točkama)}$

Povezani pojmovi

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

Vanjske poveznice

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation