Obična diferencijalna jednadžba

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se pojavljuju n-te derivacije nepoznate funkcije $y$ jedne varijable, za razliku od parcijalne diferencijalne jednadžbe koja uključuje funkcije više varijabli i njihove parcijalne derivacije. Linearne diferencijalne jednadžbe se posebno proučavaju jer se često pojavljuju u primjenama matematike, a i nelinearne diferencijalne jednadžbe se nastoje aproksimirati pomoću linearnih. Ako su $a_0,a_1,\dots ,a_n,g$ realne funkcije i $a_0\ne 0$, onda linearna diferencijalna jednadžba ima oblik:

$a_0(x)y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y^{\prime }(x)+a_n(x)y(x)=g(x)$

Rješenje te jednadžbe je općenito neki skup funkcija $X$. Ako su još zadani realni brojevi $x_0,C_1,\dots ,C_n$ takvi da:

$y(x_0)=C_1,y^{\prime }(x_0)=C_2,\dots ,y^{(n-1)}(x_0)=C_n$

onda je rješenje partikularno rješenje iz skupa $X$, a problem nalaženja takvog rješenja Cauchyev problem.

Ako je $g\ne 0$ onda je jednadžba nehomogena, u suprotnom slučaju homogena, a funkcije $a_k$ su koeficijenti jednadžbe. Takva jednadžba je linearna jer je funkcija:

$F(t,x_0,\dots ,x_n)=a_0(t)x_n+\dots +a_n(t)x_0-g(t)$

polinom prvog stupnja u varijablama $x_0,\dots ,x_n$. Pomoću funkcije $F$ jednadžba se može zapisati:

$F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$

i takav oblik je općenito obična diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Literatura

• Predložak:Citiranje knjige