Niz

Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa $\{1,2,3,...,20\}$ pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija niza

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju $f:\mathbb{N}\to S$ zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije $f(n)=...$, označava sa $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ili samo $(a_n{)}_n$ ili $(a_n)$.

Primjeri

Članovi niza zadanog sa $f(n)=\frac{1}{n}$ izgledaju ovako: $(a_n{)}_1=1,(a_n{)}_2=\frac{1}{2},(a_n{)}_3=\frac{1}{3},(a_n{)}_4=\frac{1}{4},...$

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

$g(n):\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}_0$

$g(n):=\{\begin{array}{cc}n,& \text{ako je }n\text{ neparan}\\ 0,& \text{ako je }n\text{ paran}\end{array}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup $\mathbb{N}$ (kodomena je skup $S={\mathbb{N}}_0$).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: $1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...$

Posebni nizovi

Posebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.

Konvergentni nizovi realnih brojeva

Niz $a_n$ realnih brojeva konvergira realnom broju $a_0$, ako za svako $ϵ>0$ postoji prirodni broj $n_0$ takav daPredložak:Is

$(n>n_0)⟹(|a_n-a_0|<ϵ)$

Broj $a_0$ se naziva limes niza $a_n$. Kao primjer niz

$a_n=\frac{1}{n}$

konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.Predložak:Is