Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza

Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza jedan je od temeljnih teorema iz matematičke analize. Koristi se u dokazivanju svojstava nizova, ali i redova.

Njegov iskaz glasi:

Svaki ograničen i monoton niz $(a_n)$ realnih brojeva je konvergentan.

Dokaz

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je niz $(a_n)$ rastući. Kako je on po pretpostavci i ograničen, skup $A=\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$ je odozgo ograničen pa po aksiomu potpunosti ima supremum u skupu $ℝ$, odnosno postoji $a=\sup A\in ℝ$. Po definiciji supremuma vrijedi $a_n\le a$ za svaki $n\in \mathbb{N}$ te za svaki $ϵ>0$ postoji $a_{n_0}\in A$ (za neki $n_0\in \mathbb{N}$) takav da je $a-ϵ<a_{n_0}$. Kako niz $(a_n)$ raste, za $n\ge n_0$ dobivamo $a-ϵ<a_{n_0}\le a_n\le a<a+ϵ$, odnosno $|a_n-a|<ϵ$. Odavde zaključujemo da je niz $(a_n)$ konvergentan i $\underset{n}{\lim }{a}_n=a$. Dokaz se, dakle, provodi analogno za padajući niz.