Kvadratni korijen

Kvadratni korijen od i

Kvadratni korijen matematička je operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

$\sqrt{x}$, i čita se kao „korijen iz x“.

Potpuno ispravno bilo bi pisati i $\sqrt[2]{x}$ te izgovarati „kvadratni korijen od x“, međutim to se rjeđe radi iz razloga, što se najveći broj slučajeva odnosi na kvadratni korijen, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Definicija

Ova operacija definira se sljedećom relacijom:

Kvadratni korijen broja x je ne-negativan broj, koji pomnožen sam sa sobom daje x.

Na primjer, $\sqrt{9}=3$ pošto je $3^2=3\cdot 3=9$.

Primjer pokazuje kako se kvadratni korijen pojavljuje prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe $x^2=9$.

Općenito kvadratna jednadžba ima oblik $a{x}^2+bx+c=0$ i za njeno rješavanje neophodna je primjena kvadratnoga korijena.

Osobine

• Glavna vrijednost kvadratnoga korijena je funkcija $f(x)=\sqrt{x}$ koja preslikava skup ne-negativnih realnih brojeva ${ℝ}^{+}\cup \{0\}$ na samu sebe.

Opširnije

Kvadratni korijen prirodnog broja često je iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primjer $\sqrt{2}$ ne se može zapisati kao m/n, gdje su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko točno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je $\sqrt{2}$ iracionalan pripisuje se Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni korijen ($\sqrt{}$) prvi put je upotrijebljena u 16. stoljeću. Skoro je sigurno, da je proizašlo iz prilagođenoga ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od (lat. radix) što znači „korijen”.

Argument i vrijednost

Da bi rezultat korijenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti ne-negativan broj. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja, npr. rješenja jednadžbe $x^2=9$ su $x=3$ i $x=-3$, jer je $3^2=9$ i $(-3{)}^2=9$, što se kraće može zapisati kao $x=\pm 3$.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni korijen. Zato je uveden pojam imaginarnoga i kompleksnoga broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

$\sqrt{-1}=i$

$\sqrt{-25}=\sqrt{-1\cdot 25}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{25}=5i$

Heronov algoritam

Jedan od najstarijih metoda, odnosno algoritama za računanje kvadratnog korijena pripisuje se starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije. Ponegdje se naziva i babilonskom metodom.

Kako bi odredili r, kvadratni korijen realnog broja x:

1. Počnemo sa proizvoljnom pozitivnom početnom vrijednosti r (što je bliža kvadratnom korijenu od x, to je bolje).
2. Zamijenimo r sa srednjom vrijednosti između r i x/r, to jest: $(r+x/r)/2$ (Dovoljno je uzeti aproksimativnu vrijednost srednje vrijednosti kako bi se osigurala konvergencija).
3. Ponavljamo korak 2 sve dok r i x/r nisu blizu po našoj želji ili potrebi.