Eulerov identitet

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

$e^{i\pi }+1=0$

gdje je

• $e$ Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
• $i$ imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
• $\pi$ pi, realni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.

Eksponencijalna funkcija e^z može se definirati kao limes niza Predložak:Nowrap. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e^iπ limes od Predložak:Nowrap. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz Predložak:Nowrappribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod

Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

te kako je

$\cos \pi =-1$

i

$\sin \pi =0,$

slijedi da je

$e^{i\pi }=-1,$

iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:

$e^{i\pi }+1=0.$

Poopćenje identiteta

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitije jednakosti:

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi ik/n}=0.$

Eulerov identitet je slučaj n = 2.

Objašnjenje

Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja $z_1,z_2$ (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći $z_3\in ℂ$ kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula $z_1,z_2,$ a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata $z_1,z_2.$

Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja $(a+bi{)}^n$ dobivamo logaritamsku spiralu.

Iz realne analize je poznato da vrijedi $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n$ pa definiramo $e^{xi}=(1+\frac{xi}{n}{)}^n.$ Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj $N=1+\frac{x}{n}i$. Kako $n\to \mathrm{\infty },$ ordinata broja $N$ se smanjuje. Dakle, modul od $N$ teži u $1,$ a kut teži u $\frac{x}{n}.$ Zbog toga što $N$ množimo sa sobom $n$ puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi $e^{xi}=\cos x+i\sin x.$

Kako je $\pi \text{rad}=180^{\circ },$ slijedi $e^{i\pi }=-1.$