Descartesovo pravilo predznaka

Descartesovo pravilo predznaka je teorem u algebri koji kaže da je broj pozitivnih korijena ili nultočaka polinoma (brojeći višestrukost) $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ manji ili jednak broju promjena predznaka koeficijenata $a_n,...,a_0$ polinoma $P(x).$ Drugi dio teorema kaže da su ta dva cijela broja iste parnosti.

Na primjer, predznaci koeficijenata polinoma $P(x)=x^4+2x^3-x^2+1$ redom su (+, +, −, +). U nizu su dvije promjene predznaka, pa prema Descartesovom pravilu polinom ima najviše 2 pozitivna korijena. Zbog drugoga dijela teorema polinom ne može imati samo jedan pozitivan korijen, ali može biti bez ijednoga.

Ovaj teorem je nazvan po slavnom francuskom matematičaru i filozofu Renéu Descartesu koji ga je prvi zapisao u svom djelu La Géométrie davne 1637.

Teorem se može koristiti i za broj negativnih korijena polinoma $P(x)$ jer je taj broj jednak broju pozitivnih korijena polinoma $P(-x).$

Dokaz indukcijom

Descartesovo pravilo ćemo ovdje geometrijski dokazati metodom matematičke indukcije.

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je vodeći koeficijent $a_n{x}_n$ polinoma $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ pozitivan.

Uočimo da ako je $a_0=P(0)=0$ možemo izlučivati $x$ iz $P(x)$ sve dok ne dođemo do polinoma oblika $P(x)=x^{p}R(x),p\in \mathbb{N}$ gdje je $R(x)$ polinom kojemu slobodni član nije jednak nuli. Ovaj postupak nije moguće napraviti samo ako je izvorni polinom u obliku $P(x)=a_n{x}^n.$ Primjerice, možemo računati $x^4+2x^3-x^2=xx(x^2+2x-1).$

Uzimo sada opet opći polinom $P(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0,$ uz $a_n>0,a_0\ne 0$. Ako je $a_0=P(0)>0$ broj promjena predznaka je paran jer bismo imali (+, ..., +). S druge strane, za dovoljno veliki $x_0$ vrijedi $P(x_0+\alpha )>0,\mathrm{\forall }\alpha \ge 0$ (slijedi iz svojstva injektivnosti i neprekidnosti polinomne funkcije i iz činjenice da je član $a_n{x}^n>0$ za dovoljno veliki $x_0$ dominantan nad ostalim članovima). Kako su $P(0)=a_0,P(x_0)>0$ slijedi da će $P(x)$ siječi apscisnu ili x-os u intervalu $[0,x_0]$ paran broj puta (tj. broj nultočaka je paran).

Ako je pak $a_0<0$ broj promjena predznaka bi bio neparan jer bismo imali (+, ..., -) i iz $P(0)=a_0<0,P(x_0)>0$ analogno bi slijedilo da postoji dovoljno veliki ${x_0}^{\prime }$ za koji je $P(x+{\alpha }^{\prime })>0,\mathrm{\forall }{\alpha }^{\prime }\ge 0$ pa bi taj graf sijekao x-os neparan broj puta (tj. broj nultočaka je neparan).

Treba napomenuti da ovo vrijedi i ako polinom ima višestruke korijene. Naime, ako neki polinom ima $s$-terostruki korijen $x=r$ možemo ga napisati kao $P(x)=r^{s}Q(x)$. Ako je $s=2l,l\in \mathbb{N}$ njegov graf dodiruje točku $(r,0)$ lokalno u približnom obliku parabole, tj. slova "U", što ne mijenja parnost broja presjeka polinoma $P(x)$ s x-osi. Za $s=2l+1$ polinom se lokalno ponaša približno kao kubna funkcija u $(0,0)$ pa se ni tada parnost broja presjeka grafa s x-osi ne mijenja.

Dakle, vidimo da su broj pozitivnih korijena polinoma i broj promjena predznaka njegovih koeficijenata iste parnosti.

Sada pretpostavimo da je broj pozitivnih korijena $k$ veći od broja promjena predznaka koeficijenata $m$ polinoma $P(x).$ Uočimo da je tada $k$ barem za 2 veći od $m.$

No, $P^{\prime }(x)$ je polinom s nultočkama između svake dvije nultočke polinoma $P(x)$ (slijedi iz Rolleovog teorema).

To znači da je broj nultočaka polinoma $P^{\prime }(x)$ veći ili jednak $k-1.$

Uočimo još da su brojevi promjena predznaka polinoma $P(x),P^{\prime }(x)$ jednaki (to slijedi iz pravila za derivaciju polinoma)

Zbog toga slijedi da je broj nultočaka polinoma $k$ veći točno za 1 od $m$ što nije moguće jer 1 nije paran broj.

Prema tome, pretpostavka je pogrešna pa je $k\le m,$ što je i trebalo pokazati.