Integriranje pomoću Eulerove formule

Integracija pomoću Eulerove formule metoda je rješavanja integrala trigonometrijskih funkcija koje pomoću Eulerove formule pretvaramo u integrale eksponencijalnih funkcija. Ova metoda je često jednostavnija i brža u odnosu na metodu parcijalne integracije ili korištenje trigonometrijskih identiteta u svrhu pojednostavljenja integranda.

Eulerova formula

Eulerova formula izražava da je:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Nadomještajući −x za x nalazimo:

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x.$

Na taj način možemo funkcije sin i cos prikazati kao:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\text{i}\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Primjer 1

Razmotrimo integral:

$\int {\cos }^{2}xdx.$

Standardan način rješavanja bio bi prikaz cos²x u obliku (1+cos2x)/2, a u namjeri da se pojednostavi integrand. Ako se, međutim, koristi Eulerova formula, nalazimo:

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{2}xdx& =\int {\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^{2}dx\\ & =\frac{1}{4}\int (e^{2ix}+2+e^{-2ix})dx\end{array}$

Na ovom mjestu postoji mogućnost povrata u područje realnih brojeva koristeći pri tome jednakost: e^2ix + e^−2ix = 2 cos 2x.

Međutim, postoji i mogućnost integracije eksponencijalne funkcije s imaginarnim eksponentima i transformacija u područje trigonometrijskih funkcija iza integracije:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\int (e^{2ix}+2+e^{-2ix})dx& =\frac{1}{4}(\frac{e^{2ix}}{2i}+2x-\frac{e^{-2ix}}{2i})+C\\ & =\frac{1}{4}(2x+\sin 2x)+C\end{array}$

Ovo je, naravno, jednostavan primjer gdje i nije bilo teško primijeniti uobičajenu zamjenu trigonometrijskim identitetom. U prilikama gdje zamjena nije evidentna, upotreba Eulerove formule može biti od očite prednosti.

Primjer 2

Razmotrimo integral:

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx.$

Ovdje bi nalaženje trigonometrijskog identiteta koji bi pojednostavio integrand bilo izrazito teška. Koristeći, međutim, Eulerovu formula, nalazimo:

$\begin{array}{cc}\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx& =\int {\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right)dx\\ & =-\frac{1}{8}\int (e^{2ix}-2+e^{-2ix})(e^{4ix}+e^{-4ix})dx\\ & =-\frac{1}{8}\int (e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix})dx.\end{array}$

Na ovom mjestu možemo provesti neposrednu integraciju ili najprije transformirati izraz u područje trigonometrijskih funkcija pa tek tada provesti integraciju. Oba načina na kraju daju:

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx=-\frac{1}{24}\sin 6x+\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{8}\sin 2x+C.$

Korištenje realnog dijela Eulerove formule

Razmotrimo integral:

$\int e^x\cos xdx.$

kako je cos x realni dio funkcije e^ix, znamo da je:

$\int e^x\cos xdx=\mathrm{Re}\int e^x{e}^{ix}dx.$

Integral na desnoj strani jednakosti lako je vrednovati:

$\int e^x{e}^{ix}dx=\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}+C.$

Na taj način možemo zapisati, redom:

$\begin{array}{cc}\int e^x\cos xdx& =\mathrm{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\}+C\\ & =e^x\mathrm{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\}+C\\ & =e^x\mathrm{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\}+C\\ & =e^x\frac{\cos x+\sin x}{2}+C.\end{array}$

Racionalni izrazi

Ova metoda se može općenito koristiti pri vrednovanju bilo kojeg izraza koji uključuje trigonometrijske funkcije. Na primjer, razmotrimo integral:

$\int \frac{1+{\cos }^{2}x}{\cos x+\cos 3x}dx.$

Primjenjujući Eulerovu formula, ovaj integral postaje

$\frac{1}{2}\int \frac{6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}dx.$

Primijenimo li sada supstituciju: u = e^ix, nalazimo integral racionalne funkcije:

$\frac{1}{2}\int \frac{6+u^2+u^{-2}}{u+u^{-1}+u^3+u^{-3}}\frac{du}{iu}=\frac{1}{2i}\int \frac{1+6u^2+u^4}{1+u^2+u^4+u^6}du.$

U tom smislu je svaka racionalna funkcija integrabilna uz primjenu parcijalnih razlomaka u integraciji, gdje na taj način možemo integrirati bilo koji racionalni izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije.