Divergencija polja

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

Definicija

Divergencija polja F u točki x je granična vrijednost toka polja kroz plohu S_i podijeljenog volumenom V_i kako se volumeni sažimaju prema samoj točki.

Divergencija vektorskog polja $𝐅$ u točki $𝐱$ definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije $𝐅$, divergencija je

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐅{|}_{𝐱}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{V\to 0}{\lim }\frac{1}{V}\underset{S(V)}{\int }𝐅\cdot \mathrm{d}𝐒$.

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku $𝐱$, a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je $\mathrm{div}𝐅>0$ nazivaju se izvorima, a točke gdje je $\mathrm{div}𝐅<0$ ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teorem

Za divergenciju vektorskog polja $𝐅$ vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,

$\underset{V}{\int }\mathrm{div}𝐅\mathrm{d}V=\underset{S(V)}{\int }𝐅\cdot \mathrm{d}𝐒$

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Tok polja F kroz infinitezimalno malenu zatvorenu plohu unutar koje je točka (x₀,y₀,z₀).

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama $(x_0,y_0,z_0)$. Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja $𝐅=\hat{x}{F}_x+\hat{y}{F}_y+\hat{z}{F}_z$ kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

$\underset{S_{yz}}{\int }𝐅(x_0+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)\cdot \hat{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{S_{yz}}{\int }{F}_x(x_0+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

$\underset{S_{yz}}{\int }𝐅(x_0-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)\cdot (-\hat{x})\mathrm{d}y\mathrm{d}z=-\underset{S_{yz}}{\int }{F}_x(x_0-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

Ovdje S_yz označava sljedeće granice integracije po osima y i z: $|y-y_0|\le \frac{1}{2}\mathrm{\Delta }y$, $|z-z_0|\le \frac{1}{2}\mathrm{\Delta }z$.

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

$\underset{S_{yz}}{\int }\underset{\frac{\partial F_x}{\partial x}\cdot \mathrm{\Delta }x}{\underbrace{[F_x(x_0+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)-F_x(x_0-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x,y,z)]}}dydz$.

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand $\frac{\partial F_x}{\partial x}\mathrm{\Delta }x$ ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

$\frac{\partial F_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$.

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Delta }V}(𝐅)=(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})\cdot \mathrm{\Delta }V.$

Prema definiciji, divergencija u točki $(x_0,y_0,z_0)$ bit će

$\mathrm{div}𝐅{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\frac{\partial F_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{\partial F_y(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}+\frac{\partial F_z(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}.$

I općenito, u bilo kojoj točki $(x,y,z)$

$\mathrm{div}𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=(\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (\hat{x}{F}_x+\hat{y}{F}_y+\hat{z}{F}_z)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

• u cilindričnom koordinatnom sustavu:

$\mathrm{div}𝐅=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho F_{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial F_z}{\partial z};$

• u sfernom koordinatnom sustavu:

$\mathrm{div}𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }(F_{\vartheta }\sin \vartheta )+\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }.$

Svojstva operatora divergencije

Za dana vektorska polja $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, skalar $U$, skalarnu funkciju $f(U)$ i vektor položaja $\overrightarrow{r}$ vrijedi:

1. $\mathrm{div}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\mathrm{div}\overrightarrow{u}+\mathrm{div}\overrightarrow{v}$
2. $\mathrm{div}(U\cdot \overrightarrow{v})=U\cdot \mathrm{div}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{grad}U$
3. $\mathrm{div}[f(U)\cdot \overrightarrow{v}]=f(U)\cdot \mathrm{div}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot f_U^{\text{'}}(U)\cdot \mathrm{grad}U$
4. $\mathrm{div}\overrightarrow{r}=3.$

Primjer

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^3}\overrightarrow{r}$

iznosi

$\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\mathrm{div}\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^3}\overrightarrow{r}\right)\stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\cdot \mathrm{div}\overrightarrow{r}+\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\overrightarrow{r}\cdot \mathrm{grad}\frac{1}{r^3}\stackrel{(4.)}{=}\frac{3q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}+\frac{3q}{4\pi {\epsilon }_0}\overrightarrow{r}\frac{(-1)}{r^5}\overrightarrow{r}=0$

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok vektorskog polja
• Gradijent skalarnog polja
• Rotacija vektorskog polja
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama