Vektorski prostor

Vektorski prostor je algebarska struktura inspirirana skupom svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Vektorski ili linearni prostor jedna je od osnovnih algebarskih struktura u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora nastao je apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije. Primjene su široke i uključuju temeljne discipline kao što su analiza i analitička geometrija.

Definicija

Vektorski prostor definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element bilježimo znakom $\overrightarrow{0}$ ili o i zovemo nulvektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na binarne operacije zbrajanja i množenja (u apstraktnom smislu) označavamo s 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru $\alpha \in F$ i svakom vektoru $\overrightarrow{v}\in V$ pridružuje vektor $\alpha \overrightarrow{v}\in V$, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

1. $\alpha (\beta \overrightarrow{v})=(\alpha \beta )\overrightarrow{v}$ za sve $\alpha ,\beta \in F$ i $\overrightarrow{v}\in V$
2. $\alpha (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\alpha \overrightarrow{v}+\alpha \overrightarrow{w}$ za sve $\alpha \in F$ i $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V$
3. $(\alpha +\beta )\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{v}+\beta \overrightarrow{v},\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F,\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}\in V$ za sve $\alpha ,\beta \in F$ i $\overrightarrow{v}\in V$
4. $1\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v},\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}\in V$ za sve $\overrightarrow{v}\in V$

Ovako definirano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Svojstva

Linearne kombinacije vektora i linearna ljuska

Neka je $S\subset V$ podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor $\overrightarrow{v}$ linearna kombinacija elemenata od $S$ ako se da napisati u obliku ${\alpha }_1{\overrightarrow{v}}_1+\dots +{\alpha }_k{\overrightarrow{v}}_k$ gdje je $k$ prirodni broj i gdje su $v_1,\dots ,v_k\in S$ i ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in F$. Također možemo reći da je ${\alpha }_1{\overrightarrow{v}}_1+\dots +{\alpha }_k{\overrightarrow{v}}_k$ linearna kombinacija vektora $v_1,\dots ,v_k$. Kažemo da je $W\subset V$ je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz $W$ i sama u $W$.

Ako je $S\subset V$ ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska ${\text{span}}_F(S)$ skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz $S$. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži $S$.

Linearni operatori

Preslikavanje $L:V\to W$ među skupovima vektora dva vektorska prostora $V$ i $W$ nad istim poljem ili tijelom $F$ zovemo aditivnim ako $L({\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2)=L({\overrightarrow{v}}_1)+L({\overrightarrow{v}}_2)$ za svaka dva vektora $v_1,v_2\in V$, homogenim ako $L(\alpha \overrightarrow{v})=\alpha L(\overrightarrow{v})$ za sve $\alpha \in F,\overrightarrow{v}\in V$ i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom ili linearnom transformacijom među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator često se izostavlja.

Afini prostor

Ako je F polje, skup A opremljen djelovanjem $A\times V\to A,(a,\overrightarrow{v})\mapsto t_{\overrightarrow{v}}(a)$, translacijom za vektor Abelove grupe V, zovemo afini prostor (od lat. affinis – srodni) (nad poljem F) ako je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora $\overrightarrow{v}\in V$ na točki $a$ označava se s $t_{\overrightarrow{v}}(a)$ ili $a+\overrightarrow{v}$ i tumači kao translacija točke $a$ za vektor $\overrightarrow{v}$.

• Uvjet slobodnosti znači da ako je $a+\overrightarrow{v}=a$ za neki $a$ tada je $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$.

• Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke $a,b\in A$ postoji vektor $\overrightarrow{v}\in V$ takav da je $a+\overrightarrow{v}=b$.
• Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s $\overrightarrow{v}=b-a$.

Ovo reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka $(a,b)$ koji su krajevi usmjerene dužine, a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se translacijom mogu prevesti jedna u drugu, odnosno ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Unitarni prostori

Realni vektorski prostor $V$ opremljen bilinearnom preslikavanjem $⟨,⟩:V\times V\to$ koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačnodimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačnodimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Treba spomenuti i udžbenik Linearna Algebra, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. čiji je autor Krešimir Horvatić te udžbenik Linearna algebra, Element, Zagreb, 2022. čiji je autor Ljiljana Arambašić.

Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovno-matematičke gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.