Linearni operator

Linearni operator središnji je pojam u linearnoj algebri. To je preslikavanje između dva vektorska prostora nad istim poljem pri kojem je slika zbroja vektora jednaka zbroju njihovih slika, a slika skaliranog vektora jednaka slici vektora skaliranoj za isti iznos. Formalno, ako su $V$ i $W$ vektorski prostori nad poljem $𝔽$, preslikavanje $O:V\to W$ zvat će se linearnim operatorom ako ima svojstvo aditivnosti, $$O(v_1+v_2)=O(v_1)+O(v_2)$$ i svojstvo homogenosti, $$O(\alpha v)=\alpha O(v)$$ za sve vektore $v$ iz $V$ i sve $\alpha$ iz $𝔽$.

Linearnost je objedinjeni naziv za aditivnost i homogenost.

Linearni operator ishodište (nulvektor) jednog vektorskog prostora uvijek preslikava u ishodište drugog prostora.

Primjeri linearnih operatora

Rotacija ravnine za kut $\varphi$ je linearan operator, isto kao i projekcija vektora ravnine na prvu koordinatnu os. Manje geometrijski primjeri su operator deriviranja definiran na prostoru svih polinoma n-tog stupnja, kao i operator integriranja nad istim prostorom. Ako je kompozicija dvaju linearnih operatora definirana, ona je također linearan operator.