Rapiditet

Rapiditet je veličina srodna brzini koja se koristi u fizici u teoriji relativnosti. Matematički se može definirati kao hiperbolni kut između dva referentna sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugi.

Prednost korištenja rapiditeta u odnosu na brzinu pri relativističkim brzinama je činjenica da je rapiditet aditivan pri gibanju u jednoj dimenziji. Drugim riječima, ako se neki objekt jednoliko giba brzinom v₁ i rapiditetom y₁ u odnosu na promatrača A, a dotični promatrač se giba u istom smjeru brzinom v₂ i rapiditetom y₂ u odnosu na promatrača B, tada kretanje objekta u odnosu na promatrača B možemo rapiditetima jednostavno opisati kao

$y=y_1+y_2,$

dok za brzinu vrijedi kompliciranija jednakost

$v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}.$

U odnosu na brzinu, rapiditet se definira kao

$y=\mathrm{Arth}\frac{v}{c},$

gdje je v brzina kretanja, c brzina svjetlosti, a Arth označava funkciju area tangens hiperbolni (inverz tangensa hiperbolnog).

Pri malim brzinama, rapiditet je proporcionalan brzini; $y\approx v/c$. No kako se brzina približava brzini svjetlosti, rapiditet brže raste i teži u beskonačnost. U teoriji relativnosti za sve moguće brzine masenih čestica vrijedi $-c<v<c$ odnosno $-1<v/c<1$. Kako je domena area tangensa hiperbolnog interval $⟨-1,1⟩$, a slika svi realni brojevi, tako se i interval $-c<v<c$ preslikava u $-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty }$.

Povijest

Hermann Minkowski je 1908. primijetio da se Lorentzova transformacija može opisati kao hiperbolna rotacija (rotacija za imaginarni kut) u prostorvremenskim koordinatama. Time dobivamo veličinu koja se može zbrajati u okviru teorije relativnosti na isti jednostavan način kao što se zbrajaju brzine u klasičnoj mehanici. Opis kuta pomoću rapiditeta dali su 1910. Vladimir Varićak i E. T. Whittaker, a naziv je rapiditetu sljedeće godine nadjenuo Alfred Robb.

Rapiditet u jednoj prostornoj dimenziji

Lorentzova transformacija može se prikazati kao matrični produkt uz pomoć rapiditeta

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{ch}y& -\mathrm{sh}y\\ -\mathrm{sh}y& \mathrm{ch}y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right]=\mathrm{\Lambda }(y)\left[\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right]$.

Lako se pokaže da vrijedi $\mathrm{\Lambda }(y_1+y_2)=\mathrm{\Lambda }(y_1)\mathrm{\Lambda }(y_2)$, iz čega proizlazi svojstvo aditivnosti rapiditeta. Neka su A, B i C referentni sustavi, a y_XY označava rapiditet kretanja referentnog sustava X u odnosu na Y; tada vrijedi

$y_{\text{AC}}=y_{\text{AB}}+y_{\text{BC}}$.

Lorentzov faktor γ također se može prikazati kao kosinus hiperbolni od rapiditeta:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\mathrm{ch}y.$

Odnos relativističnog Dopplerovog efekta i rapiditeta je:

$z=e^y.$

U četverodimenzionalnom prostorvremenu

Neka je brzina objekta $𝐯=\mathit{\beta }c$. Rapiditet se tada opisuje kao vektor $𝐲=\hat{\mathit{\beta }}\mathrm{Arth}\beta$, gdje je $\hat{\mathit{\beta }}$ jedinični vektor u smjeru vektora $\mathit{\beta }$.

Zbroj rapiditeta y₁ i y₂ razdvojenih kutom α može se izraziti kao:

$\mathrm{ch}y=\mathrm{ch}{y}_1\mathrm{ch}{y}_2+\mathrm{sh}{y}_1\mathrm{sh}{y}_2\cos \alpha .$

U fizici elementarnih čestica

Energija E i količina gibanja p masene čestice su:

$E=\gamma m{c}^2$

$p=\gamma mv.$

Koristeći definiciju rapiditeta y = Arth v/c možemo izvesti:

$\mathrm{ch}y=\mathrm{ch}(\mathrm{Arth}\frac{v}{c})=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}}=\gamma$

$\mathrm{sh}y=\mathrm{sh}(\mathrm{Arth}\frac{v}{c})=\frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}}=\beta \gamma ,$

što možemo uvrstiti u prijašnje formule da energiju i količinu gibanja izrazimo pomoću rapiditeta:

$E=m{c}^2\mathrm{ch}y$

$p=mc\mathrm{sh}y.$

Obratno, vrijedi i

$y=\mathrm{Arth}\frac{pc}{E}=\frac{1}{2}\ln \frac{E+pc}{E-pc}=\ln \frac{E+pc}{m{c}^2}.$

U eksperimentalnoj fizici elementarnih čestica koristi se promijenjena definicija rapiditeta, u odnosu na z-os, koja je os kojom se gibaju čestice ubrzane u eksperimentu:

$y_z=\frac{1}{2}\ln \frac{E+p_{z}c}{E-p_{z}c}.$

To je rapiditet Lorentzove transformacije između referentnog sustava laboratorija i sustava u kojem se čestica kreće okomito na z-os.

Pri proučavanju sudara čestice fizičari obično koriste pseudorapiditet, koji se ovdje lakše mjeri nego rapiditet, a i dobra je aproksimacija pri relativističkim brzinama, jer teži k rapiditetu kako se brzina približava c:

$\eta =-\ln \mathrm{tg}\frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\ln \frac{p+p_L}{p-p_L},$

gdje je θ kut između smjera kretanja izlazne čestice i osi sudara.