Osnovni teorem o racionalnim nultočkama

Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri.

Tvrdi da ako su $p,q$ relativno prosti brojevi i ako je $\frac{p}{q}$ jedna nultočka polinoma $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0$ s cjelobrojnim koeficijentima $a_n,a_{n-1},...,a_0\in \mathbb{Z},a_n,a_0\ne 0,$ tada $p|a_0$ te $q|a_n$.

Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je $q=1$, tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku $p\in \mathbb{Z}$ jer tada će očito $p$ dijeliti slobodni član $a_0$, a uvjet $q|a_n$ trivijalno je zadovoljen.

Dokaz

Neka imamo polinom $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ s koeficijentima $a_0,\dots a_n\in \mathbb{Z}.$ Pretpostavimo da je $\frac{p}{q}$ nultočka polinoma $P(x)$, tj. da je $P(\frac{p}{q})=0$ za neka dva relativno prosta broja $p,q\in \mathbb{Z}$.

Dakle, vrijedi

$P\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0.$

Pomnožimo obje strane jednakosti s $q^n$. Dobivamo

$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$

Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$

Dakle, $p$ dijeli $a_0{q}^n$. No, kako su $p,q$ relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i $p,q^n$ također relativno prosti što znači da mora biti $p|a_0$.

Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n.$

Analogno slijedi $q|a_n$, što je i trebalo pokazati.