Linearna nezavisnost

Linearna nezavisnost vektora središnji je pojam u linearnoj algebri. Za skup vektora kaže se da je linearno nezavisan ako je jedina linearna kombinacija tih vektora koja daje nulvektor ona u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli. Formalno, konačan skup vektora $S=\{v_1,v_2,...,v_s\}$ koji je podskup vektorskog prostora $V$ nad poljem $𝔽$ linearno je nezavisan ako iz$${\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+...+{\alpha }_s{v}_s=\mathrm{O}$$slijedi$${\alpha }_1={\alpha }_2=\dots ={\alpha }_s=0$$Ovdje su $\alpha$ koeficijenti iz $𝔽$, a $\mathrm{O}$ nulvektor u $V$. Beskonačan skup je linearno nezavisan ako je takav svaki njegov konačan podskup.

Skup vektora koji nije linearno nezavisan je linearno zavisan skup, a u njemu se nulvektor može dobiti linearnom kombinacijom vektora u kojoj barem jedan koeficijent nije 0. Skup vektora je linearno zavisan ako i samo ako u njemu postoji vektor koji je linearna kombinacija preostalih vektora skupa.

Baza vektorskog prostora

Za linearno nezavisan skup vektora $S$ kaže se da razapinje (generira) vektorski prostor $V$ ili neki njegov potprostor $W\le V$ ako se svi vektori prostora $V$ ili njegovog potprostora $W$ mogu na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija vektora skupa $S$.

Skup linearno nezavisnih vektora koji razapinju cijeli vektorski prostor naziva se bazom vektorskog prostora. Izbor baze nije jedinstven, ali je u svakoj izabranoj bazi jedinstven prikaz svih vektora vektorskog prostora.

Konačnodimenzionalni slučaj

Neka je $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ baza vektorskog prostora $V$. Tada je svaki $v_i$ linearno nezavisan od preostalih $v_j,i\ne j$.

Zato se i skup $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ naziva bazom jer je linearnom kombinacijom vektora $v_1,v_2,...,v_n$ moguće dobiti svaki vektor iz vektorskog prostora $V$.

Steinitzov teorem

Svake dvije baze netrivijalnog konačnogeneriranog vektorskog prostora $V$ su jednakobrojne ili ekvipotentne. (Kažemo da je vektorski prostor $V$ netrivijalan ako i samo ako vrijedi $V\ne \{0\}$.)

Dokaz. Netrivijalni konačnogenerirani vektorski prostor $V$ ima bazu. Neka su sada $B_1,B_2$ bilo koje dvije baze prostora $V$. Označimo $B_1=n_1,\text{card}{B}_2=n_2$ ($\text{card}B$ je kardinalni broj skupa $B$, dakle broj elemenata tog skupa).

Kako je $B_1$ linearno nezavisan skup, a $B_2$ je sustav izvodnica, slijedi $n_1\le n_2$. Obrnuto, kako je $B_2$ linearno nezavisan skup, a $B_1$ je sustav izvodnica, vrijedi $n_2\le n_1$. Očito mora biti $n_1=n_2$ pa su dvije baze zaista jednakobrojne.

Primjeri

Jedan od zornih geometrijskih primjera vektorskog prostora je svakako skup usmjerenih dužina u realnoj ravnini, ${ℝ}^2$ sa svojim pravilima za zbrajanje vektora i množenjem skalarima. Nije teško geometrijski pokazati da je taj skup zaista jedan vektorski prostor.

Bazu ${ℝ}^2$ čine točno dva nekolinearna vektora, neka su to $i,j$. Tada su $i,j$ linearno nezavisni. Naime, svaku drugu usmjerenu dužinu u ${ℝ}^2$ moguće je dobiti linearnom kombinacijom baznih vektora $i,j$. Najčešće se za bazu prostora ${ℝ}^2$ uzima skup jediničnih i međusobno okomitih vektora $\{(1,0),(0,1)\}$ koji se još naziva i ortonormirana baza.

Kartezijev koordinatni sustav

Geometrijski, odabirom vektora $i,j$ mijenjamo oblik koordinatnog sustava. No, tom transformacijom sve dužine (i pravci) koje su bile paralelne su i ostale paralelne te je ishodište ostalo na svome mjestu (jer je ${\alpha }_{1}i+{\alpha }_{2}j=0$ povlači ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$).

Takav izmijenjeni Kartezijev koordinatni sustav često se naziva kosokutni koordinatni sustav, jer vektori $i,j$ ne moraju činiti pravi kut.