Leibnizov kriterij

U matematičkoj analizi, Leibnizov kriterij je metoda koja se koristi da se pokaže da je izmjenični (alternirani) red konvergentan kada njegovi članovi opadaju po apsolutnoj vrijednosti i kada je niz tih članova konvergentan s limesom u nuli. Ovaj test je koristio njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz te je po njemu i nazvano ovo pravilo.

Ovaj test je samo dovoljan, no ne i nužan uvjet, tako da neki konvergentni alternirani nizovi mogu pasti na prvom dijelu testa.

Iskaz teorema

Ako je $(a_k)$, $a_k>0$ opadajući nula-niz (niz s limesom u nuli), tada je alternirani red $a_1-a_2+a_3-...+(-1{)}^{n+1}{a}_n+...=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n$ konvergentan i za njegovu sumu $S$ i njegov $n$-ti ostatak $r_n$ vrijedi $0<s<a_1$ te je $|r_n|<a_{n+1}.$

Ako je pak $a_k<0,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$, dokaz se provodi posve analogno.

Dokaz

Iz relacija $S_{2n+2}=S_{2n}+a_{2n+1}-a_{2n+2}\ge S_{2n}$ i $S_{2n+1}=S_{2n-1}-a_{2n}+a_{2n+1}\le S_{2n-1}$, vidimo da niz $(S_{2n})$ monotono raste, a da niz $(S_{2n-1})$ monotono pada. Također, iz $S_2\le S_{2n}=S_{2n-1}-a_{2n}<S_{2n-1}\le S_{1}1$ vidimo da je niz $(S_{2n})$ ograničen odozgo sa $S_1$, a da je niz $(S_{2n-1})$ ograničen odozdo sa $S_2$ pa su oba ova niza konvergentna. Dakako, postoje $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}$ i $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n-1}$ u $ℝ$. Zato imamo da vrijedi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n-1}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2n}=0$ i zaključujemo da je $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n-1}(=S)$ pa niz $(Sn)$ konvergira k $S$, što znači da je $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}{a}_k=S$.

Sada iz $S_{2n}<S<S_{2n-1}$ slijedi $0<S_2<S<S_1=a_1$, tj. $0<s<a_1$. (*)

Preostaje još ocijeniti $n$-ti ostatak $r_n$. Iz $(-1{)}^n{r}_n=a_{n+1}-a_{n+2}+...$ koristeći (*) zaključujemo da je $|(-1{)}^n{r}_n|=|r_n|<a_{n+1}$, što je i trebalo pokazati.