Kvantno stanje

U fizici, točnije kvantnoj mehanici, kvantno stanje jest matematički entitet koji utjelovljuje svo moguće znanje određenog kvantnog sustava. Kvantna mehanika specificira konstrukciju, evoluciju i mjerenje kvantnog stanja. Rezultat mjerenja jest predviđanje za sustav koji je opisan pripadajućim kvantnim stanjem. Poznavanje kvantnog stanja i pravila evolucije sustava u vremenu iscrpljuje sve što se može znati o kvantnom sustavu.

Kao alat za fiziku, kvantna stanja su izrasla iz stanja u klasičnoj mehanici. Klasično stanje sustava sastoji se od skupa dinamičkih varijabli s dobro definiranim stvarnim vrijednostima u svakom trenutku vremena.  Na primjer, stanje topovske kugle sastojalo bi se od njenog položaja i brzine.

Valne funkcije

Valne funkcije opisuju stanje kvantnog sustava. Najčešći simbol za valnu funkciju je grčko slovo $\psi$ psi. Valne funkcije su funkcije kompleksne varijable. Na primjer, valna funkcija može dodijeliti kompleksni broj svakoj točki prostoru. Bornovo pravilo pruža način za pretvaranje ovih složenih kompleksnih funkcija u funkcije gustoće vjerojatnosti. U jednom uobičajenom obliku, kaže da je kvadrat modula valne funkcije koji ovisi o položaju jednak gustoći vjerojatnosti mjerenja da se čestica nalazi na danom mjestu.

Također, kvantna stanja mogu se opisati pomoću vektora u određenom vektorskom prostoru, odnosno stanja se mogu opisati kao jedinični vektori u kompleksnom vektorskom prostoru $\mathscr{H}$, Hilbertovom prostoru. Te tako se valna funkcija može opisati pomoću ket vektora $|\psi ⟩$, prateći Diracovu bra-ket notaciju.

Fizikalno mjerljiva distinktna stanja opisana su s ortonormalnim vektorima. Koliko mjerljivo različitih stanja sustav može ima, toliko različitih baznih vektora ima prostor $\mathscr{H}$. Distinktna stanja su ona koja se mogu jednoznačno odrediti i razlikovati mjerenjem sustava.

Diskretna stanja

Diskretna stanja opisana su pomoću konačnodimenzionalnog Hilbertovog prostora.

Primjer sustava s dva stanja jest sustav kod kojeg se ne mari za poziciju ili količinu gibanja čestice, nego se promatra samo opisivanje njezinog spina.

Čestice sa spin brojem $s=\frac{1}{2}$, fermioni, čestice koje tvore materiju (elektroni, protoni, neutino) mogu biti u samo dva stanja $|+⟩$ i $|-⟩$. Ta stanja opisana su ortonormalnim vektorima u $\mathscr{H}$. Također, ta stanja su svojstveni vektori operatora spina $S_z$.

Općenito, sustav može biti u superpoziciji baznih stanja. Tako, stanje tog sustava može se opisati linearnom superpozicijom dvaju baznih vektora, koju razapinju Hilbertov prostor:

$$|\psi ⟩=c_{+\frac{1}{2}}|+⟩+c_{-\frac{1}{2}}|-⟩$$

koeficijenti $c_{+\frac{1}{2}}$ i $c_{-\frac{1}{2}}$ su kompleksni brojevi koji određuju amplitudu vjerojatnosti da će se sustav naći u jednom od stanja $|+⟩$ ili $|-⟩$ prilikom mjerenja.

Svaki sustav koji je opisan dvodimenzionalnim Hilbertovim prostom matematički predstavlja kubit.

Kontinuirana stanja

U određenom trenutku vremena sve vrijednosti valne funkcije $\mathrm{\Psi }(x,t)$ su komponente vektora. Ima ih nebrojeno beskonačno mnogo i integracija se koristi umjesto zbrajanja:

$$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\int \mathrm{\Psi }(x,t)|x⟩dx$$

Slobodna čestica

Valna funkcija za slobodnu česticu u jednoj dimenziji s određenom količinom gibanja jest

$$\psi (x,t)=A{e}^{i(kx-\omega t)}$$

ovdje je $k=\frac{p}{\hslash }$ , $\omega =\frac{E}{\hslash }$ je kružna frekvencija, a $A$ je normalizacijska konstanta.

Bornovo pravilo

Ukoliko fizikalna veličina koja je predstavljena linearnim operatorom $\hat{A}$ ima kontinuirani spektar svojstvenih vrijednosti $|a⟩$, tada je funkcija gustoća vjerojatnosti mjerenja $a$ dana kao:

$$\rho (a)=|⟨a|\psi ⟩{|}^2.$$

gdje $|⟨|⟩|$ predstavlja unutarnji produkt (poopćenje skalarnog produkta).

Vjerojatnost dobivanja mjerenja u intervalu $[a,a+da]$ je:

$P(a)da=|⟨a|\psi ⟩{|}^{2}da.$

Budući da ukupna vjerojatnost mora biti $1$, valna funkcija zadovoljava:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|⟨a|\psi ⟩{|}^{2}da=1.$

Onda vjerojatnost se dobiva integriranjem funkcije gustoće vjerojatnosti

$P(a_1\le a\le a_2)=\underset{a_1}{\overset{a_2}{\int }}|⟨a|\psi ⟩{|}^{2}da$

Mjerenje položaja $\hat{x}$:

Gustoća vjerojatnosti mjerenja određene mjerljive veličine jednaka je kvadridanom modulu te veličine s valnom funkcijom.

Općenito za $3D$ slučaj vrijedi da je funkcija gustoće vjerojatnosti:

$\rho (𝐫,t)=|⟨r|\psi ⟩{|}^2={\psi }^{*}(𝐫,t)\psi (𝐫,t)=|\psi (𝐫,t){|}^2,$

Za $1D$ slučaj dobivamo

$\rho (x)=|\psi (x){|}^2,\text{gdje je }\psi (x)=⟨x|\psi ⟩.$

Vjerojatnost pronalaska čestice u $[x,x+dx]$ je: $P(x)dx=|\psi (x){|}^{2}dx.$

To znači da je vjerojatnost mjerenja čestice u intervalu $[a,b]$:

$P(a\le x\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx$

Budući da ukupna vjerojatnost mora biti 1, valna funkcija $\psi (x)$ mora zadovoljiti uvjet normalizacije:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx=1$