Kroneckerov simbol

U matematici, Kroneckerov simbol ili Kroneckerov delta simbol je po dijelovima zadana realna funkcija dvije realne varijable: $${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0& \text{ako }i\ne j,\\ 1& \text{ako }i=j.\end{array}$$

Na primjer, ${\delta }_{12}=0$ jer $1\ne 2$, dok je primjerice ${\delta }_{22}=1$ jer je $2=2$.

Ova i slične funkcije rabe se u svim temeljnim područjima matematike, posebice u linearnoj algebri, fizici i inženjerstvu.

Funkcija nosi ime po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru (1823. – 1891.).

Neke primjene

Jedinična matrica

Lako se vidi da se koeficijenti kvadratne jedinične matrice $\text{I}$ reda $n$ upravo mogu zadati preko Kroneckerovog simbola: $I_{ij}={\delta }_{ij}$ kad $i,j$ prolaze skupom $\{1,2,\cdots ,n\}$.

Skalarni produkt

Skalarni produkt može se kompaktno zapisati i rabeći Kroneckerov delta simbol: $$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i,j=1}^n{a}_i{\delta }_{ij}{b}_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.$$

Ovdje su vektori $𝐚,𝐛$ definirani jednostavno kao uređene n-torke: $𝐚=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ i $𝐛=(b_1,b_2,...,b_n)$.

Ortonormirana baza

Neka je $U$ unitaran prostor i $S=\{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}\subset U$ linearno nezavisan skup. Tada kažemo da je $S$ ortonormirana baza od $U$ ako je $s(a_i,a_j)={\delta }_{ij}$.

Za $i=j=k\in \mathbb{N}$ imamo $s(a_i,a_i)=1$ što povlači $||a_k||=1$.

Dakle, vektori skupa $S$ ne samo da su ortogonalni, nego su i normirani, odnosno jedinične duljine, a otuda i dolazi naziv za jedinični vektor – "ort".

Domena

Tradicionalno, domena ove funkcije restringirana je na nenegativne cijele brojeve, no ona se može definirati za proizvoljan skup.