Kronecker-Capellijev teorem

U linearnoj algebri, Kronecker-Capellijev teorem daje nužan i dovoljan uvjet da bi sustav linearnih jednadžbi imao rješenje.

Naime, ako je $A$ matrica sustava, $x$ stupčana matrica nepoznanica te $b$ matrica slobodnih članova, tada se sustav može zapisati u obliku $Ax=b$.

S $A_p$ označimo matricu $[A|b]$, tj. matricu kojoj smo dobili dodavajući stupac $b$ matrici $A$. Takvu matricu nazivamo proširenom matricom sustava. Tada teorem kaže da ovaj sustav ima rješenje ako i samo ako je rang proširene matrice sustava jednak rangu matrice sustava.

Dokaz

Neka sustav koji proučavamo ima $m$ jednadžbi s $n$ nepoznanica. Nadalje, neka je $E=\{e_1,e_2,...,e_n\}$ kanonska (standardna) baza prostora $M_{n1}$. Slika operatora $f$, $f(M_{n1})=\text{Imf}\le M_{m1}$ razapeta je vektorima $f(e_1),f(e_2),...,f(e_n)$. Prema tome, vektor $b$ bit će u slici $\text{Imf}$ ako i samo ako ga možemo prikazati kao linearnu kombinaciju vektora $f(e_1),f(e_2),...,f(e_n)$, odnosno kao linearnu kombinaciju stupčanih matrica $\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{11}\\ {\alpha }_{21}\\ ⋮\\ {\alpha }_{m1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{12}\\ {\alpha }_{22}\\ ⋮\\ {\alpha }_{m2}\end{array}\right],\cdots ,\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{1n}\\ {\alpha }_{2n}\\ ⋮\\ {\alpha }_{mn}\end{array}\right]$, odnosno ako i samo ako je zadnji stupac matrice $A_p$ linearna kombinacija ostalih stupaca matrice $A_p$, a to su, ustvari, stupci matrice $A$. Kako je rang matrice broj linearno nezavisnih stupaca matrice, tvrdnja je dokazana.

Dakle, u slučaju da je

• $r(A_p)>r(A)$, zadnji se stupac ne može prikazati kao linearna kombinacija stupaca od $A$ pa sustav nema rješenja.
• Ako je pak $r(A_p)=r(A)$, po Kronecker-Capellijevu teoremu sustav ima rješenja.

Povijest

Kroneckerova verzija ovoga teorema sačuvana je u njegovim bilješkama s predavanja na Sveučilištu u Berlinu iz perioda od 1883. do 1891. godine.

Leopold Kronecker, 1865.

S druge strane, A. Capelli bio je prvi koji je iskazao teorem u današnjoj formi, rabeći termin "rang matrice".

U nekim državama ovaj teorem je poznat i pod nazivima Rouché-Capellijev teorem, Rouché-Fontenéov teorem te kao Frobeniusov teorem.