Karakteristični polinom

Karakteristični polinom kvadratne matrice A reda n je polinom koji se dobije izračunavanjem determinante karakteristične matrice A—λI, gdje je I kvadratna jedinična matrica reda n, a λ je neodređen.

Ako je

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

tada je karakteristični polinom matrice A

$|𝐀-\lambda 𝐈|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|$

Karakteristični polinom je od koristi za izračunavanje nekoliko važnih svojstava matrice: nule karakterističnog polinoma su svojstvene vrijednosti matrice.

Primjer

Recimo da želimo izračunati karakteristični polinom matrice

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$

Trebamo izračunati determinantu od

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ -1& -\lambda \end{array}\right)$

a ona je

$(2-\lambda )(-\lambda )-(-1)(1)={\lambda }^2-2\lambda +1$.

Ovo je karakteristični polinom od A.

Svojstva

Svi realni polinomi neparnog stupnja imaju bar jedan realan broj kao korijen, tako da za neparno n svaka realna matrica ima najmanje jednu svojstvenu vrijednost. Mnogi realni polinomi parnog stupnja nemaju realni korijen, ali osnovni stavak algebre tvrdi da svaki polinom stupnja n ima n kompleksnih korijena.

Slične matrice imaju iste karakteristične polinome. Međutim, dvije matrice koje imaju iste karakteristične polinome ne moraju nužno biti slične. Matrica A i transponirana matrica A^T imaju iste karakteristične polinome.

Cayley-Hamiltonov teorem tvrdi da ako ubacimo A u karakteristični polinom p_A(t) dobivamo nul-matricu:

$p_A(A)=0$.

Jednostavno, svaka matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednadžbu. Kao posljedicu ovoga možemo pokazati da minimalni polinom od A dijeli karakteristični polinom od A.