Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right].$

Njen karakteristični polinom je

$p(\lambda )=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2.$

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

$A^2-5A-2I_2=0$

Dokaz

Svaka matrica :$A$ ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

$P(\lambda )=a_n\ast {\lambda }^n+a_{n-1}\ast {\lambda }^{n-1}+\mathrm{...}+a_1\ast \lambda +a_0=0$

To jest u matričnom obliku je:

$P(A)=a_n\ast A^n+a_{n-1}\ast A^{n-1}+\mathrm{...}+a_1\ast A+a_0=0$

gdje je :$A$ kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :$B$, koja je jednaka:

$B=(A-\lambda \ast E)$

gdje je :$E$ jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :$B$ je jednaka:

$B^{-1}=\frac{1}{det(B)}\ast adj(B)$

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu s B s lijeve i desne strane:

$B\ast B^{-1}=\frac{B}{det(B)}\ast adj(B)$

$B^{-1}\ast B=\frac{1}{det(B)}\ast adj(B)\ast B$

Slijedi:

$E=\frac{B}{det(B)}\ast adj(B)$

$E=\frac{1}{det(B)}\ast adj(B)\ast B$

$det(B)\ast E=B\ast adj(B)$

$det(B)\ast E=adj(B)\ast B$

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

$\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n\ast B_n$

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

$det(B)\ast E=B\ast \sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n\ast B_n$

$det(B)\ast E=(A-\lambda \ast E)\ast \sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n\ast B_n$

$det(B)\ast E=A\ast \sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n\ast B_n-\lambda \ast E\ast \sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n\ast B_n$

Razvijmo sumu u red oblika:

$det(B)\ast E=A\ast B_0+A\ast \lambda \ast B_1+A\ast {\lambda }^2\ast B_2+\mathrm{...}+A\ast {\lambda }^{n-1}\ast B_{n-1}-\lambda \ast B_0-{\lambda }^2\ast B_1-\mathrm{...}-{\lambda }^n\ast B_{n-1}$

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

$det(B)\ast E=A\ast B_0+\lambda \ast (A\ast B_1-B_0)+{\lambda }^2\ast (A\ast B_2-B_1)+\mathrm{...}+{\lambda }^{n-1}(A\ast B_{n-1}-B_{n-2})-{\lambda }^n\ast B_{n-1}$

Usporedimo ovu jednadžbu s karakterističnim polinomom matrice :$A$

$P(A)=a_n\ast A^n+a_{n-1}\ast A^{n-1}+\mathrm{...}+a_1\ast A+a_0=0$

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

$A\ast B_0=a_0\ast E$

$A\ast B_1-B_0=a_1\ast E$

. . . . . . . . .

$A\ast B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}\ast E$

$B_{n-1}=a_n\ast E$

Ako dobiveni sistem jednadžbi pomnožimo s A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

$A\ast B_0=a_0\ast E$

$A^2\ast B_1-A\ast B_0=a_1\ast A$

. . . . . . . . .

$A^n\ast B_{n-1}-A^{n-1}{B}_{n-2}=a_{n-1}\ast A^{n-1}$

$A^n\ast B_{n-1}=a_n\ast A^n$

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

$P(A)=A\ast B_0+A^2\ast B_1-A\ast B_0+\mathrm{...}+A^n\ast B_{n-1}-A^{n-1}{B}_{n-2}-A^n\ast B_{n-1}$

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

$P(A)=0$