Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right].$

Njen karakteristični polinom je

$p(\lambda )=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2.$

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

$A^2-5A-2I_2=0$

Dokaz

Svaka matrica :$A$ ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

$P(\lambda )=a_n*{\lambda }^n+a_{n-1}*{\lambda }^{n-1}+...+a_1*\lambda +a_0=0$

To jest u matričnom obliku je:

$P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_1*A+a_0=0$

gdje je :$A$ kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :$B$, koja je jednaka:

$B=(A-\lambda *E)$

gdje je :$E$ jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :$B$ je jednaka:

$B^{-1}=\frac{1}{det(B)}*adj(B)$

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu s B s lijeve i desne strane:

$B*B^{-1}=\frac{B}{det(B)}*adj(B)$

$B^{-1}*B=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B$

Slijedi:

$E=\frac{B}{det(B)}*adj(B)$

$E=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B$

$det(B)*E=B*adj(B)$

$det(B)*E=adj(B)*B$

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

$\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n*B_n$

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

$det(B)*E=B*\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n*B_n$

$det(B)*E=(A-\lambda *E)*\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n*B_n$

$det(B)*E=A*\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n*B_n-\lambda *E*\sum _{n=1}^{n-1}{\lambda }^n*B_n$

Razvijmo sumu u red oblika:

$det(B)*E=A*B_0+A*\lambda *B_1+A*{\lambda }^2*B_2+...+A*{\lambda }^{n-1}*B_{n-1}-\lambda *B_0-{\lambda }^2*B_1-...-{\lambda }^n*B_{n-1}$

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

$det(B)*E=A*B_0+\lambda *(A*B_1-B_0)+{\lambda }^2*(A*B_2-B_1)+...+{\lambda }^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2})-{\lambda }^n*B_{n-1}$

Usporedimo ovu jednadžbu s karakterističnim polinomom matrice :$A$

$P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_1*A+a_0=0$

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

$A*B_0=a_0*E$

$A*B_1-B_0=a_1*E$

. . . . . . . . .

$A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E$

$B_{n-1}=a_n*E$

Ako dobiveni sistem jednadžbi pomnožimo s A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

$A*B_0=a_0*E$

$A^2*B_1-A*B_0=a_1*A$

. . . . . . . . .

$A^n*B_{n-1}-A^{n-1}{B}_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1}$

$A^n*B_{n-1}=a_n*A^n$

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

$P(A)=A*B_0+A^2*B_1-A*B_0+...+A^n*B_{n-1}-A^{n-1}{B}_{n-2}-A^n*B_{n-1}$

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

$P(A)=0$