Hiperbola (krivulja)

Definicija hiperbole pomoću udaljenosti od dviju čvrstih točaka, fokusa F₁ i F₂.

Hiperbola je krivulja u ravnini, jedna od čunjosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se modul razlike udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F₁F₂ uz uvjet 2a<d(F₁, F₂), hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednaka 2a.

Smjesti li se središte hiperbole u ishodište O koordinatnog sustava, udaljenost /OF₁/=/OF₂/ naziva se linearnim ekscentricitetom hiperbole, e. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao

$ϵ=\frac{e}{a}>1$

Jednadžba hiperbole

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

$b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(p, q)

Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

$b^2(x-p{)}^2-a^2(y-q{)}^2=a^2{b}^2$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}-\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$

Tangenta hiperbole

Tangenta hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T $(x_0,y_0)$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

$2b^{2}xdx-2a^{2}ydy=0$

odakle slijedi da je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\tan \alpha =\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}$

te da je jednadžba tangente na hiperbolu

$y-y_0=\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole

$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

Tangenta hiperbole sa središtem u S(p, q)

Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T $(x_0,y_0)$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

$2b^2(x-p)dx-2a^2(y-q)dy=0$

odakle slijedi da je je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\tan \alpha =\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0-p}{y_0-q}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole

$y-y_0=\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0-p}{y_0-q}(x-x_0)$