De Moivreova formula

De Moivreova formula nazvana je po Abrahamu de Moivreu (1667. – 1754.) francuskom matematičaru i izražava da za bilo koji realni broj x te cjelobrojni n, vrijedi da je

${(\cos x+i\sin x)}^n=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).$

Ova formula je važna jer povezuje trigonometrijske funkcije s kompleksnim brojevima. Formula vrijedi i ako je x kompleksna veličina. Razvojem lijeve strane i zatim uspoređujuće realne i imaginarne dijelove pod pretpostavkom da je x realni broj mogu se izvesti izrazi za cos(nx) i sin(nx) izraženi s cos(x) and sin(x). Štoviše, uz pomoć formule mogu se naći eksplicitni izrazi za n-ti korijen iz jedan, uzimajući u obzir da lijeva strana jednakosti predstavlja ustvari kompleksni broj z tako da je zⁿ = 1.

Izvod

Premda povijesno dokazana ranije, de Moivreova formula može se jednostavno izvesti iz Eulerove formule kako slijedi

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}.$

i koristeći Eulerovu formulu slijedi da je

$e^{i(nx)}=\cos (nx)+i\sin (nx).$

Necjelobrojne potencije

Za razliku od Eulerove formule koja je istinita i za necjelobrojni n, de Moivreova formula općenito ne vrijedi za necjelobrojne n, a zbog toga što necjelobrojna potencija kompleksnog broja može imati mnogo različitih vrijednosti. Izvod de Moivreove formule uključuje potenciranje kompleksnog broja na n-tu potenciju, dok Eulerova formula uključuje kompleksnu potenciju pozitivnog realnog broja i ima zato uvijek jedinstven iznos. Na primjer

za x = 0 and n = 1/2 formula daje 1^1/2 = 1

za x = 2π and n = 1/2 formula daje 1^1/2 = −1

Kako su kutovi 0 i 2π jednaki, iz formule nalazimo različite vrijednosti za isti izraz. Vrijednost kvadratnog korijena nije, dakle, jedinstvena. Takva poteškoća se ne pojavljuje ako koristimo Eulerovu formulu

eⁱ⁰ = 1

e^iπ = −1

Dokaz indukcijom (za cjelobrojni n)

Razmatramo tri slučaja.

Za n > 0, razmatramo najjednostavniji slučaj gdje je n = 1 i formula, očito, vrijedi. Pretpostavimo da je formula istinita i za neki cjelobrojni k, što znači da pretpostavljamo da je

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).$

Razmotrimo sada slučaj gdje je n = k + 1

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)](\cos x+i\sin x)& & \text{hipotezom indukcije}\\ & =\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x]\\ & =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right].& & \text{trigonometrijskim identitetima}.\end{array}$

Zaključili smo da je formula istinita za n = k + 1 kada je istinita i za n = k. Slijedeći princip matematičke indukcije slijedi i da je formula istinita i za sve cjelobrojnen≥1.

Kada je n = 0 formula je očito također istinita jer je $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$, i prema definiciji $z^0=1$.

Kada je n < 0, razmatramo pozitivni cjelobrojni m tako da je n = −m, odnosno

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{array}$

Stoga, formula je istinita za sve cjelobrojne vrijednost n.

Generalizacija

Formula je istinita i u općenitijem slučaju, tj. ako su z i w kompleksni brojevi. Tada je

${(\cos z+i\sin z)}^w$

višeznačna funkcija, dok

$\cos (wz)+i\sin (wz)$

nije višeznačna funkcija. Zato možemo ustvrditi da je

$\cos (wz)+i\sin (wz)$     

jedna vrijednost od

     ${(\cos z+i\sin z)}^w.$

Primjene

De Moivreova formula se može primijeniti u cilju nalaženja n-tog korijena iz kompleksnog broja. Formula se, istina, ne koristi izravno u njezinu izvornom smislu jer potencija nije cjelobrojna, no može se ustvrditi da ako je $z$ kompleksni broj zadan u polarnim koordinatama kao

$z=r(\cos x+i\sin x),$

tada je

$z^{{}^{\frac{1}{n}}}={\left[r(\cos x+i\sin x)\right]}^{{}^{\frac{1}{n}}}=r^{{}^{\frac{1}{n}}}[\cos \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)]$

gdje je $k$ cijeli broj. Kako bi se našlo $n$ različitih korijena od $z$ moraju se razmatrati različite vrijednosti $k$ i to od $k=0$ do $k=n-1$.