Aksiomi Kolmogorova

Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.

Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.

Aksiomi

Neka je $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ izmjeriv prostor. Funkcija $P:ℱ\to ℝ$ jest vjerojatnost (na $\mathrm{\Omega }$, na $ℱ$) ako vrijedi:

• $P(A)\ge 0$ za svaki događaj $A\in ℱ$ (nenegativnost vjerojatnosti),
• $P(\mathrm{\Omega })=1$ (normiranost vjerojatnosti),
• $A_i\in ℱ(i\in \mathbb{N})$ i $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ za $i\ne j$ povlači $P(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$ (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).

Uređena trojka $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ gdje je $ℱ$ σ-algebra na nepraznom skupu $\mathrm{\Omega }$ i $P$ vjerojatnost na $ℱ$, zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre $ℱ$ zovemo događaji, a za $A\in ℱ$ broj $P(A)$ zovemo vjerojatnost događaja $A$.

Posljedice

Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.

Monotonost vjerojatnosti

$\text{ako}A\subseteq B\text{tada}P(A)\le P(B).$

Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.

Dokaz monotonosti vjerojatnosti

Neka su $E_1=A$ i $E_2=B\setminus A$, gdje je $A\subseteq B$ i $E_i=\varnothing$ za $i\ge 3$. Iz svojstava praznoga skupa ($\varnothing$), lako se vidi da su $E_i$ u parovima disjunktni i $E_1\cup E_2\cup \cdots =B$. Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je

$P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\mathrm{\infty }}P(E_i)=P(B).$

Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u $P(B)$ slijedi $P(A)\le P(B)$ i $P(\varnothing )=0$.

Vjerojatnost praznog skupa

$P(\varnothing )=0.$

Često, $\varnothing$ nije jedini događaj s vjerojatnošću  0.

Dokaz vjerojatnosti praznog skupa

$P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )$ jer je $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$,

$P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )$ koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je $\varnothing$ disjunktan sa samim sobom dobije se

$P(\varnothing )=0$ oduzimanjem $P(\varnothing )$ od obje strane jednadžbe.

Pravilo komplementa

$P\left(A^c\right)=P(\mathrm{\Omega }-A)=1-P(A)$

Dokaz pravila komplementa

Kako su $A$ i $A^c$ međusobno isključivi i kako je $A\cup A^c=\mathrm{\Omega }$:

$P(A\cup A^c)=P(A)+P(A^c)$ (po trećemu aksiomu)

i, $P(A\cup A^c)=P(\mathrm{\Omega })=1$ (po drugome aksiomu)

$\Rightarrow P(A)+P(A^c)=1$ pa je konačno $P(A^c)=1-P(A)$.