Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je $\mathbb{Q}$, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva $ℝ$, polje kompleksnih brojeva $ℂ$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten ($𝔽$, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od $𝔽$ osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od $𝔽$ za + i *

$\mathrm{\forall }a,b\in 𝔽$, $a+b\in 𝔽$ i $a*b\in 𝔽$ (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).

+ i * su asocijativne operacije

$\mathrm{\forall }a,b,c\in 𝔽$, $a+(b+c)=(a+b)+c$ i $a*(b*c)=(a*b)*c$.

+ i * su komutativne operacije

$\mathrm{\forall }a,b\in 𝔽$, $a+b=b+a$ i $a*b=b*a$.

Vrijedi distributivnost operacije * prema +

$\mathrm{\forall }a,b,c\in 𝔽$, $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$.

Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje

$\mathrm{\exists }0\in 𝔽$ takav da je $\mathrm{\forall }a\in 𝔽$, $a+0=0+a=a$.

Postojanje neutralnog elementa za množenje

$\mathrm{\exists }1\in 𝔽$ takav da je $\mathrm{\forall }a\in 𝔽$, $a*1=1*a=a$.

Postojanje inverza za zbrajanje

$\mathrm{\forall }a\in 𝔽$$\mathrm{\exists }-a\in 𝔽$, takav da je $a+(-a)=-a+a=0$.

Postojanje inverza za množenje

$\mathrm{\forall }a\in 𝔽,a\ne 0$, $\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in 𝔽$, takav da je $a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$.

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ($𝔽$, +) i ($𝔽\setminus \{0\}$, *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri

• Kompleksni brojevi $ℂ$, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
• Racionalni brojevi $\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}$ | $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}\}$, gdje je $\mathbb{Z}$ skup cijelih brojeva, a $\mathbb{N}$ skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.