San brucoša

San brucoša je termin koji se često prirodaje sljedećoj greški u računanju n-te potencije binoma: $(x+y{)}^n=x^n+y^n.$ Naziva se tako jer studenti prve godine nerijetko zaboravljaju ispravan razvoj kvadrata binoma koji se uči još u osnovnoj školi pa tako računaju $(x+y{)}^2=x^2+y^2,$ što prema binomnom teoremu ne vrijedi, nego je ispravno pisati $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2.$

U istinitost binomnog teorema za slučaj n = 2 možemo se uvjeriti ovom skicom.

Zanimljivosti

Zanimljivo je da postoji sličan identitet $(a+b{)}^p\equiv a^p+b^p(\mathrm{mod}p)$ koji vrijedi za svaka dva cijela broja $a,b$ i za svaki neparni prosti broj $p.$

Naime, prema Malom Fermatovom teoremu vrijedi $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p),b^p\equiv b(\mathrm{mod}p),$ a isto tako je $(a+b{)}^p\equiv a+b(\mathrm{mod}p)$. Sada lagano slijedi $a^p+b^p\equiv a+b(\mathrm{mod}p)$ te koristeći svojstvo tranzitivnosti modula zaista dobivamo da je $(a+b{)}^p\equiv a^p+b^p(\mathrm{mod}p).$

Povijest

Povijest ovoga termina nije sasvim jasna. Riječ "brucoš" novijeg je datuma, dok se u zemljama engleskog govornog područja termin freshman koristi od 16. stoljeća.

U članku o modularnim poljima iz 1940., Saunders Mac Lane citira primjedbu Stephena Kleenea da bi poznavanje identiteta $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ u polju s karakteristikom 2 "prevarilo" studente prve godine studija. Ovo bi mogla biti prva veza između "brucoša" i binomnog proširenja. Od tada, autori udžbenika prijediplomskih studija često ukazuju na ovu grešku.

Ipak, izgledno je da se izraz freshman's dream prvi puta pojavljuje u Hungerfordovom udžbeniku iz algebre 1974. gdje citira McBriena.

Sam izraz "San brucoša" u nematematičkom kontekstu zabilježen je još u 19. stoljeću.

Vanjske poveznice

• D. Veljan, Kombinatorika s teorijom grafova, Školska knjiga, Zagreb, 1989.