Graf funkcije

Graf funkcije f(x) = x⁴ − 4^x na intervalu [-2,+3]. Također su prikazana i dva realna rješenja i globalni minimum na istom intervalu.

U matematici, graf funkcije f je skup svih uređenih parova (x, f(x)). Ako je ulazna funkcija x skalarna, njezin graf (krivulja) ima dvije dimenzije. Ako je zavisna varijabla x uređeni par (x₁, x₂) realnih brojeva, graf (površina) je skup svih uređenih trojki (x₁, x₂, f(x₁, x₂)).

U znanosti, inženjerstvu, tehnologiji, financijama i drugim područjima, grafovi se koriste za različite svrhe. U najjednostavnijem slučaju jedna se varijabla grafički prikazuje kao funkcija druge varijable, obično pomoću pravokutnih osi.

U poljima moderne matematike, poput teorije skupova, funkcija i njezin graf označavaju isti koncept.

Vrste grafova

Ovisno o najvećoj potenciji nepoznanice, postoji više vrsta grafova:

Objašnjenje grafa linearne funkcije.

Prikaz osječka pravca na objema koordinatnim osima

Linearna funkcija

Funkciju $f:R\to R$ zadanu formulom $f(x)=kx+l$, zovemo linearna funkcija, a graf joj iskazujemo pravcem. Varijabla l označava sjecište grafa s y-osi, dok varijabla k izražava nagib pravca. Nagib k može se izračunati kao $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ili kao tangens kuta pravca nad x-osi. Derivacija linearne funkcije iskazana je njenim nagibom.

Kvadratna funkcija

Ako pak funkcija ima oblik $f(x)=a{x}^2+bx+c$, zovemo ju kvadratna funkcija. Ako je funkcija oblika $f(x)=x^2(a{x}^2+b)+c$, odnosno jednostavnije, $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$, tad se naziva bikvadratna funkcija. Funkcije ovog oblika su parabole, čija realna rješenja (nultočkePredložak:Efn) x₁ i x₂ nakon izjednačavanja s nulom daju odsječke grafa na x-osi, sukladno formuli ${}_1{x}_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Tjeme kvadratne funkcije možemo dobiti općom formulom $(x_0=\frac{x_1+x_2}{2},f(x_0))$, ili jednostavnije $(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$, gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne funkcije. Ako je varijabla a pozitivna, funkcija prvo pada pa raste, a ako je negativna događa se obrnuto. S obzirom na to da je najveća potencija funkcije parna (2), funkcija počinje i završava na istoj "strani" grafa. Derivacija kvadratne funkcije je pravac 2ax+b.

Diskriminanta funkcije

Diskriminanta je vrijednost opisana formulom $D=b^2-4ac$, gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe, koja nam govori koliko rješenja ima određena kvadratna jednadžba. Ako je vrijednost diskriminante veća od nule, funkcija tad dodiruje x-os u barem dvije točke, a njezina jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D=0, tjeme funkcije leži na x-osi (dodiruje x-os u jednoj točki), a njezina jednadžba ima jedno realno i jedno kompleksno rješenje. Ako je diskriminanta manja od nule, funkcija ne dodiruje x-os, i ima dva kompleksna rješenja.

Funkcije višeg reda

Predložak:GlavniFunkcija oblika $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ naziva se polinom n-tog reda/stupnja. Svaki se takav polinom može napisati u obliku produkta: $f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_1)(x-x_2)\cdot ...\cdot (x-x_n)$, gdje su x₁, x₂, ... x_n sva rješenja jednadžbe f(x)=0. Racionalna funkcija zadana je formulom $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, gdje su g i h polinomi (h ne smije biti nula).

Oblici jednadžbe funkcije

Eksplicitni

Grafički prikaz pravca eksplicitne jednadžbe y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Eksplicitna jednadžba funkcije ima oblik $y=ax+b$, gdje je a nagib pravca, dok je b odsječak pravca na y-osi.

Implicitni

Implicitna jednadžba funkcije ima oblik Ax+By+C = 0 i opisuje implicitnu funkciju, koja u odnos stavlja nezavisnu varijablu x i ovisnu (implicitnu) varijablu y. Primjerice, jednadžba jedinične kružnice $x^2+y^2-1=0$ definira y kao implicitnu funkciju varijable x ako je $-1\le x\le 1$, a y je ograničen na ne-negativne vrijednosti.

Inverzne funkcije se često zapisuju u implicitnom obliku jer nije moguće sve inverzne funkcije napisati eksplicitno.

Algebarske funkcije su funkcije koje zadovoljavaju polinomnu jednadžbu čiji su koeficijenti također polinomi. Često se zbog lakoće i kratkoće zapisa iste zapisuju u implicitnom obliku. Gornja jednadžba jedinične kružnice je algebarska jednadžba. Ona se može eksplicitno zapisati kao $y=\pm \sqrt{1-x^2}$, što vrijedi i za sve jednadžbe drugog, trećeg i četvrtog stupnja, no ne uvijek i za jednadžbe petog i viših stupnjeva. Primjerice, jednadžbu petog stupnja $y^5+2y^4-7y^3+3y^2-6y-x=0$ nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku.

S obzirom da implicitne jednadžbe često imaju više rješenja (broj rješenja odgovara stupnju funkcije, odnosno najvišoj potenciji), često je nužno postaviti ograničenja na dozvoljene nultočke grafova i domenu funkcije.

Implicitna jednadžba $Ax+By+C=0$ može se pretvoriti u eksplicitni oblik $y=ax+b$ gdje je $a=-\frac{A}{B}$ I $b=-\frac{C}{B}$, odnosno $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$.

Segmentni

Segmentna jednadžba funkcije direktno prikazuje odsječke (segmente) na y-osi i x-osi. Općeniti oblik zapisuje se kao $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$ gdje je m odsječak na y-osi, a n odsječak na x-osi . Iz eksplicitno zapisane jednadžbe $y=ax+b$ može se dobiti da je $m=-\frac{b}{a}$ i $n=b$, odnosno $\frac{y}{b}+\frac{x}{\frac{-b}{a}}=1$.

Vanjske poveznice

• Graph of function, derivative and antiderivative plotter Predložak:Webarchive
• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Graphing slope-intercept - simulacija povezanosti funkcije i izgleda grafa, PhET, Sveučilište u Coloradu