Hamiltonov operator

Hamiltonov operator $\mathrm{\nabla }$, što se izgovara kao nabla ili del, u trodimenzionalnom je Kartezijevom koordinatnom sustavu R³ s koordinatama (x, y, z) definiran operatorima parcijalnih derivacija

$\mathrm{\nabla }\equiv \widehat{𝐱}\frac{\partial }{\partial x}+\widehat{𝐲}\frac{\partial }{\partial y}+\widehat{𝐳}\frac{\partial }{\partial z},$

gdje su $\{\widehat{𝐱},\widehat{𝐲},\widehat{𝐳}\}$ jedinični vektori usmjereni kao koordinatne osi sustava. Operator se često upotrebljava u fizici, u područjima od mehanike fluida do elektromagnetizma.

Kada djeluje na skalarna polja, njime se dobije gradijent. Kada se zdesna skalarno množi s vektorskim poljem dobije se divergencija tog polja. Kada se zdesna vektorski množi s vektorskim poljem, dobije se rotacija polja. Hamiltonov operator skalarno pomnožen samim sobom daje Laplaceov operator za skalarna polja $\mathrm{\Delta }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\mathrm{\nabla }}^2$.

Definicija se može poopćiti i na n-dimenzionalni Euklidski prostor Rⁿ. U Kartezijevom koordinatnom sustavu s koordinatama (x₁, x₂, ..., x_n), operator $\mathrm{\nabla }$ se definira kao

$\mathrm{\nabla }=\sum _{i=1}^n{\hat{e}}^i\frac{\partial }{\partial x_i}$

gdje su $\{{\hat{e}}^i:1\le i\le n\}$ jedinični vektori u tom prostoru.

U Einsteinovoj notaciji, gdje se po ponovljenim indeksima provodi zbrajanje, ta se definicija može kraće napisati kao

$\mathrm{\nabla }={\hat{e}}^i{\partial }_i$ .