Taylorov red

Aproksimacija eksponencijalne funkcije u ishodištu Taylorovim polinomima n-tog stupnja

U matematičkoj analizi Taylorov red ili Taylorov razvoj funkcije u nekoj točki zbroj je beskonačno mnogo n-tih potencija varijable množenih n-tim derivacijama funkcije izvrijednjenim toj točki.

Da bi se definirao Taylorov red funkcije $f$ ona mora biti klase $C^{\mathrm{\infty }}$ na nekom intervalu $I$, što znači da ima n-tu derivaciju za svaki prirodan broj $n$ i da su te derivacije neprekidne funkcije na $I$. U točki $c$ intervala $I$ Taylorov red za funkciju $f$ glasi:

$f(c)+\frac{f^{\prime }(c)}{1!}(x-c)+\frac{f^{″}(c)}{2!}(x-c{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n+\dots$

Za $c=0$ Taylorov red se naziva Maclaurinov red. Gornji red može divergirati za svako $x\ne c$ ili konvergirati nekoj drugoj funkciji, pa su za definiciju funkcije potrebna dodatna ispitivanja derivacija $f^{(n)}$.

Primjeri

Taylorov razvoj izvor je mnogih razvoja funkcija u redove koji se upotrebljavaju za približni izračun ili za definiciju funkcija. Neki od Taylorovih redova za elementarne funkcije jesu:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Taylorov polinom

Za približni izračun koristi se Taylorov polinom:

$T_n(x)=f(c)+\frac{f^{\prime }(c)}{1!}(x-c)+\dots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n$

gdje se funkcija

$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$

naziva n-ti ostatak funkcije $f$ i može se zapisati u Lagrangeovom integralnom obliku:

$R_n(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt$

Kriterij konvergencije

Konvergencija Taylorovog razvoja funkcije $f$ zavisi od brzine rasta derivacija $f^{(n)}$ u okolini točke $c$. U vezi s tim može se pokazati sljedeći teorem:

Neka je $f$ realna funkcija klase $C^{\mathrm{\infty }}$ definirana na intervalu $I$. Ako postoji prirodan broj $n_0$ i realni pozitivni brojevi $\delta ,M,C$ takvi da je

$|f^{(n)}(x)|\le C\cdot M^n\cdot n!$

za svako $x$ iz intervala $I^{\prime }=(c-\delta ,c+\delta )\cap I$ i za svako $n\ge n_0$, tada Taylorov red konvergira k $f(x)$ za svako $x\in I^{\prime }$ za koje je

$|x-c|<\frac{1}{M}$

U tom slučaju je $\lim R_n(x)=0$.

Literatura

• Predložak:Citiranje knjige