Vivianijev teorem

Zbroj udaljenosti točke T od stranica jednakostraničnog trokuta ABC jednak je duljini visine tog trokuta, tj. vrijedi $| T T_{a} | + | T T_{b} | + | T T_{c} | = v .$

Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji koji je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.

Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku $T$ unutar jednakostraničnog trokuta $A B C$ zbroj udaljenosti točke $T$ od stranica $a, b, c$ trokuta $A B C$ jednak visini tog trokuta.^[1]

Dokaz preko površina

Neka su $T_{a}, T_{b}$ i $T_{c}$ nožišta okomica iz točke $T$ na stranice $B C, C A$ i $A B$ trokuta $A B C$ , a $v$ visina trokuta $A B C$ . Prikažimo površinu trokuta $A B C$ pomoću zbroja površina tri trokuta $P_{△ A B C} = P_{△ T B C} + P_{△ T C A} + P_{△ T A B}$ .

$\frac{a v}{2} = \frac{a \cdot | T T_{a} |}{2} + \frac{a \cdot | T T_{b} |}{2} + \frac{a \cdot | T T_{c} |}{2} .$

Odovuda slijedi $| T T_{a} | + | T T_{b} | + | T T_{c} | = v .$

Zanimljivosti

Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.

Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke $T$ pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke $T$ .

Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine $a$ , a udaljenosti od točke $T$ do stranica tog n-terokuta $v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}$ , tada je površina poligona jednaka $P = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} a v_{i}$ , dakle vrijedi $v_{1} + v_{2} + . . . + v_{n} = \frac{2 P}{a} .$

Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.

Poopćenje Vivianijeva teorema na pravilne mnogokute

Izvori

Predložak:Izvori

↑ Vivianijev teorem

[1] Vivianijev teorem

[1]

Vivianijev teorem

Dokaz preko površina

Zanimljivosti

Izvori

Navigacijski izbornik

Traži