Skalarni umnožak

U geometriji, skalarni produkt dvaju vektora jest umnožak duljine jednoga vektora i duljine ortogonalne projekcije drugoga vektora na nj. Kada su vektori okomiti njihov je skalarni produkt nula.

Skalarni umnožak ili skalarni produkt dvaju vektora u geometriji se definira kao umnožak iznosa (modula, duljine, intenziteta) jednog i drugog vektora i kosinusa kuta između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \varphi$

Skalarni umnožak vektora sa samim sobom daje kvadrat njegova iznosa, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni umnožak vektora koji su pod pravim kutom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravoga kuta 0.

Skalarni umnožak je komutativan, distributivan i linearan.

Po uzoru na skalarni produkt u geometriji mogu se definirati skalarni produkti vektora u drugim, apstraktnim vektorskim prostorima. Vektore čiji je skalarni produkt nula i tamo se naziva okomitima ili ortogonalnima.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog umnoška vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

• gdje Σ označuje zbrajanje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}4& -2& -1\end{array}\right]=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.$

Geometrijska interpretacija

S obzirom na to da znamo da je skalarni umnožak i umnožak s kutom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i kut.

$𝐚\cdot 𝐛=|𝐚||𝐛|\cos \theta$ $⟹$ $\theta =\arccos \left(\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}\right).$

Vidjeti također

• Vektorski umnožak