Sedamnaesterokut

Pravilni sedamnaesterokut

Sedamnaesterokut, u geometriji označava mnogokut sa sedamnaest stranica, tj. heptadekagon, koji se još ponegdje u literaturi zove i heptadekaedar.

Konstrukcija pravilnog sedamnaesterokuta

Konstrukciju pravilnog sedamnaesterokuta otkrio je Carl Friedrich Gauss 1796. Naime, konstrukcija heptadekagona bila bi lako izvediva ako nam je poznato kako konstruirati kut od $\frac{2\pi }{17}$ uz pomoć ravnala i šestara.

Iz konstruktibilnosti sedamnaesterokuta slijedi da se trigonometrijske funkcije argumenta $\frac{2\pi }{17}$ mogu izraziti pomoću osnovnih aritmetičkih operacija i korijenovanja. U Gaussovoj knjizi Disquisitiones Arithmeticae (Aritmetička istraživanja, 1801.) može se naći sljedeća jednakost, ovdje zapisana uporabom suvremenog matematičkog zapisa:

$\cos \frac{2\pi }{17}=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}}).$

Prvu konstrukciju sedamnaesterokuta koja se sastoji od 64 koraka objavio je Johannes Erchinger nekoliko godina poslije Gaussovog otkrića. Na sljedećoj slici se može vidjeti animirani prikaz Erchingerove konstrukcije:

Animirani prikaz konstrukcije sedamnaesterokuta pomoću šestara i ravnala