Popis integrala arc funkcija

Slijedi popis integrala (antiderivacija funkcija) racionalnih funkcija za integrande koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije (poznate i kao “arc funkcije”). Za potpun popis integrala funkcija, pogledati tablica integrala i popis integrala.

Bilješka: Postoje tri uobičajene notacije za inverzne trigonometrijske funkcije. Arkus sinus funkcija bi se primjerice mogla zapisati kao sin⁻¹, asin, ili kao što je korišteno u ovom članku, kao arcsin.

Arkus sinus

$\int \arcsin \frac{x}{c}dx=x\arcsin \frac{x}{c}+\sqrt{c^2-x^2}+C$

$\int x\arcsin \frac{x}{c}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4})\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}+C$

$\int x^2\arcsin \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}+C$

$\int x^n\arcsin xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\arcsin x+\frac{x^n\sqrt{1-x^2}-n{x}^{n-1}\arcsin x}{n-1}+n\int x^{n-2}\arcsin xdx)+C$

Arkus kosinus

$\int \arccos \frac{x}{c}dx=x\arccos \frac{x}{c}-\sqrt{c^2-x^2}+C$

$\int x\arccos \frac{x}{c}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4})\arccos \frac{x}{c}-\frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}+C$

$\int x^2\arccos \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arccos \frac{x}{c}-\frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}+C$

Arkus tangens

$\int \mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)dx=x\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c}{2}\ln (c^2+x^2)+C$

$\int x\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{(c^2+x^2)\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)-cx}{2}+C$

$\int x^2\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c{x}^2}{6}+\frac{c^3}{6}\ln c^2+x^2+C$

$\int x^n\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{c}\right)-\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx+C,n\ne 1$

Arkus sekans

$\int \mathrm{arcsec}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}+\frac{x}{c|x|}\ln |x\pm \sqrt{x^2-1}|+C$

$\int x\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{2}(x^2\mathrm{arcsec}x-\sqrt{x^2-1})+C$

$\int x^n\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\mathrm{arcsec}x-\frac{1}{n}[x^{n-1}\sqrt{x^2-1}+(1-n)(x^{n-1}\mathrm{arcsec}x+(1-n)\int x^{n-2}\mathrm{arcsec}xdx)])+C$

Arkus kotangens

$\int \mathrm{arcctg}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}+\frac{c}{2}\ln (c^2+x^2)+C$

$\int x\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}dx=\frac{c^2+x^2}{2}\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}+\frac{cx}{2}+C$

$\int x^2\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}+\frac{c{x}^2}{6}-\frac{c^3}{6}\ln (c^2+x^2)+C$

$\int x^n\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arcctg}\frac{x}{c}+\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx+C,n\ne 1$

Arkus kosekans

$\int \mathrm{arccsc}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}+c\ln (\frac{x}{c}(\sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}}+1))+C$

$\int x\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}dx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arccsc}\frac{x}{c}+\frac{cx}{2}\sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}}+C$

Popis integrala inverznih triginometrijskih funkcija

Koriste se supstitucija ili drugi oblici algebarskih manipulacija kako bi se dosegli integrali izlistani u tablici.

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

$\int \mathrm{arccsc}xdx=x\mathrm{arccsc}x+\ln |x+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}|+C$

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x-\ln |x+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}|+C$

$\int \mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$