Normala

Normala na površinu

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.).

Normala na krivulju

Normala na krivulju $y=f(x)$ u točki $x_0$ predstavlja pravac koji prolazi kroz točku $(x_0,f(x_0))$ i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca, od. tangente, to je jednadžba normale

$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),$

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki $x_0$, tj. $(f^{\prime }(x_0)\ne 0).$

Ako je $f^{\prime }(x_0)=0$, tada je jednadžba normale $x=x_0$, tj. normala je očito paralelna s $y$-osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu – normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće gleda „van” krivulje.

Normala na površinu

Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površinu u točki $T$ je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki $T$. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata $𝐱(s,t)$, gdje su $s$ i $t$ realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

$\frac{\partial 𝐱}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐱}{\partial t}.$

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

$f(x,y,z)=0,$

u točki $T=(x,y,z)$ dana je gradijentom:

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z).$

Iznimke

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija $f(x)=|x|$ nema definiranu normalu u ishodištu.

Jedinstvenost

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer – vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orijentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.

Vanjske poveznice

• Tangenta i normala
• Java applet za traženje normale Predložak:Webarchive