Nejednadžba

Nejednadžba je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.

Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar Thomas Harriot (1560. – 2. srpnja 1621.).

Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti x koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa $\le$ ili $\ge$.

Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba

$2x-4=6$

u nejednadžbu

$2x-4>6$.

Za razliku od rješenja jednadžbe, x = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti

$x>5$,

Skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi sadržavat će sve realne brojeve od 5 do $+\mathrm{\infty }$ gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadana kao

$2x-4\ge 6$

tada bi skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.

Pravila rješavanja nejednadžbi

Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:

1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.

2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).

3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka

te nešto specifično za nejednadžbu

4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:

$-x+3<2x+15$

$-x-2x<15-3$

$-3x<12/(-1)$

$3x>-12$

$x>-4$

Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom

Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva x koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:

$x+6>0$

$-x-1<2$

$x-1>1$

Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti x rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:

rješenje prve nejednadžbe: x > -6, odn. interval $⟨-6,+\mathrm{\infty }⟩$,

rješenje druge nejednadžbe: x > -3, odn. interval $⟨-3,+\mathrm{\infty }⟩$,

rješenje treće nejednadžbe: x > 2, odn. interval $⟨2,+\mathrm{\infty }⟩$.

Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, x > 2 jer interval vrijednosti x $⟨2,+\mathrm{\infty }⟩$ udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.

Nejednadžbe složenijih oblika

Nejednadžba kao produkt binomnih članova

Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost x rješenja nejednadžbi. Primjer:

$(x+1)(x-3)>0$

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:

a)$(x+1)>0$ i $(x-3)>0$

b)$(x+1)<0$ i $(x-3)<0$.

Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:

$a)x>-1$ i $x>3$

$b)x<-1$ i $x<3$.

Kako bi skup rješenja x nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je x > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je x < -1. Skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva $⟨-\mathrm{\infty },-1⟩$

$⟨3,+\mathrm{\infty }⟩$.

Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova

Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:

$\frac{x^2+2}{x+2}\ge 0$

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (x² + 2) za realne x uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (x + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za x> -2. Skup vrijednosti rješenja x nejednadžbe bit će interval realnih brojeva $⟨-2,+\mathrm{\infty }⟩$.

Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova

Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:

$\frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)}>0$

Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao funkciju

$y=\frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)}$.

Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nultočke u točkama: x = -1 i x = 2, a polove u točkama x = -2 i x = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku

$y=\frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6}$

Kako je limes funkcije pozitivan kada x teži u $-\mathrm{\infty }$ i kada teži u $+\mathrm{\infty }$, funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki x biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako x poprima vrijednosti od $-\mathrm{\infty }$ prema $+\mathrm{\infty }$,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:

a)pozitivnu vrijednost u intervalu x od x = $-\mathrm{\infty }$ do prvog pola u x = -2,

b)negativnu vrijednost od prvog pola x = -2 do prve nultočke x = -1,

c)pozitivnu vrijednost od prve nultočke x = -1 do druge nultočke x = 2,

d)negativnu vrijednost od druge nultočke x = 2 do drugog pola u x = 3 te opet

e)pozitivnu vrijednost od x = 3 do x = $+\mathrm{\infty }$.

Skup rješenja x nejednadžbe očito je iz unija intervala $⟨-\mathrm{\infty },-2⟩\cup$ $⟨-1,2⟩\cup$ $⟨3,+\mathrm{\infty }⟩$

Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.

Vidi

• eksponencijalna nejednadžba
• iracionalna nejednadžba
• Logaritamska nejednadžba

Literatura

• Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.