Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.

Neodređeni integral

Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, koja se može zapisati kao

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$

što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.Predložak:Is

Funkcije $u$ i $v$ moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral

$\int v^{\prime }dx$.

Kao jednostavan primjer može poslužiti integral

$\int x{e}^{x}dx$

koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem $u=x$ i $v^{\prime }=e^x$.

Određeni integral

Neka je $u:[a,b]\to ℝ$ neprekidna funkcija, i $v:[a,b]\to ℝ$ neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je $U$ primitivna od $u$ tada je formula za parcijalnu integraciju:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v(x)dx=U(b)v(b)-U(a)v(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}U(x)v^{\prime }(x)dx$