Maxwellove relacije

Maxwellove relacije čine sustav jednadžbi koji se koristi u termodinamici. Dobivaju se pomoću Predložak:Ill o simetriji drugih derivacija termodinamičkih potencijala.^[1] Koriste se u termodinamici radi lakšeg izvođenja nekih rezultata ili lakšeg opisivanja termodinamičkih procesa.^[2]Predložak:Bolji izvor

Nazvane su po fizičaru iz devetnaestog stoljeća Jamesu Clerku Maxwellu.

Izvod relacija

d U = T d S - P d V

pomoću Schwartzovog teorema dobivamo prvu Maxwellovu relaciju.

{(\frac{\partial T}{\partial V})}_{S} = - {(\frac{\partial P}{\partial S})}_{V}

Odaberemo li drugi potencijal, entalpiju,

d H = T d S + V d P

dobivamo drugu Maxwellovu relaciju, na isti način.

{(\frac{\partial T}{\partial P})}_{S} = {(\frac{\partial V}{\partial S})}_{P}

Sve četri relacije prikazane su u sljedećoj tablici:

$+ {(\frac{\partial T}{\partial V})}_{S} = - {(\frac{\partial P}{\partial S})}_{V} = \frac{\partial^{2} U}{\partial S \partial V}$
$+ {(\frac{\partial T}{\partial P})}_{S} = + {(\frac{\partial V}{\partial S})}_{P} = \frac{\partial^{2} H}{\partial S \partial P}$
$+ {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{T} = + {(\frac{\partial P}{\partial T})}_{V} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial T \partial V}$
$- {(\frac{\partial S}{\partial P})}_{T} = + {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{P} = \frac{\partial^{2} G}{\partial T \partial P}$

Ovdje je $T$ temperatura, $P$ tlak, $V$ volumen i $S$ entropija.

Ako su poznate samo dvije relacije, preostale se dobivaju sljedećom manipulacijom:

{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{z} = 1 / {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z}

Joule-Thomsonov (Kelvinov) učinak, je promjena temperature plina pri ireverzibilnoj adijabatskoj ekspanziji s visokoga tlaka na niski tlak.^[4]

Kako bi odredili predznak promjene temperature prilikom prigušivanja koristi se Joule–Thomson (Kelvin) koeficijent.

μ_{J T} = {(\frac{\partial T}{\partial P})}_{H} = \frac{V}{C_{p}} (α T - 1)

Prilikom izvođenja formule za taj koeficijent koristi se sljedeća Maxwellova relacija^[5]

{(\frac{\partial S}{\partial P})}_{T} = - {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{P}

Maxwellove relacije jako su matematički slične Hamiltonovim jednadžbama dinamike.^[6]Predložak:Bolji izvor

Hamiltonove jednadžbe dinamike su sljedeće.^[7]Predložak:Bolji izvor

\frac{d 𝒒}{d t} = \frac{\partial ℋ}{\partial 𝒑}, \frac{d 𝒑}{d t} = - \frac{\partial ℋ}{\partial 𝒒} .

Dvije već ranije navedene Maxwellove relacije su.

\frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial P}{\partial T}, \frac{\partial T}{\partial V} = - \frac{\partial P}{\partial S} .

I jedne i druge jednadžbe opisuju kako će se odvijati procesi u mehaničkim, odnosno termodinamičkim sustavima.^[8]Predložak:Bolji izvor

↑ Ritchie, David J. (2002-02-01). "Answer to Question #78. A question about the Maxwell relations in thermodynamics". American Journal of Physics. 70 (2): 104–104. doi:10.1119/1.1410956. ISSN 0002-9505.
↑ Predložak:Citiranje weba
↑ Pippard, A. B. (1957-01-01). Elements of Classical Thermodynamics:For Advanced Students of Physics (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09101-5.
↑ Predložak:Citiranje weba
↑ Atkins, Peter (1997). Physical Chemistry (6th ed.). New York: W.H. Freeman and Co. pp. 89–90. ISBN 978-0-7167-2871-9.
↑ https://johncarlosbaez.wordpress.com/2021/09/23/classical-mechanics-versus-thermodynamics-part-3/
↑ https://poincare.matf.bg.ac.rs/~zarkom/Book_Mechanics_Goldstein_Classical_Mechanics_optimized.pdf str. 337. jednadžbe 8.18
↑ https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/01/19/classical-mechanics-versus-thermodynamics-part-1/