Lorentzova sila

Lorentzova sila zakreće putanje brzih nabijenih čestica u magnetskome polju komore s mjehurićima. Budući da ih Lorentzova sila ubrzava, čestice zrače elektromagnetske valove, gube energiju i gibaju se sve sporije pa su im putanje spirale.

Putanja čestice u magnetskom polju u ovisnosti o predznaku električnog naboja. Magnetsko polje izlazi iz ravnine slike.

Lorentzova sila je sila koja djeluje na električni naboj $q$ koji se giba brzinom $𝐯$ u magnetskom polju $𝐁$ zajedno sa silom koja na nj djeluje zbog električnog polja $𝐄$. Iznos i smjer Lorentzove sile dani su zbrojem magnetske i električne sile na električni naboj

$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$

Ovdje je $𝐯\times 𝐁$ vektorski umnožak vektora brzine i vektora magnetskog polja.

Ponekad se pojam Lorentzove sile odnosi samo na magnetsku silu:

$𝐅=q𝐯\times 𝐁$

Električna sila djeluje u smjeru polja $𝐄$. Magnetska je pak sila u svakom dijelu putanje okomita i na trenutnu brzinu $𝐯$ i na magnetsko polje $𝐁$. Njen se smjer za pozitivni naboj može odrediti s pomoću desne ruke: ako se otvoreni dlan postavi tako da prsti pokazuju smjer gibanja naboja, a silnice magnetskog polja izlaze iz dlana, ispruženi palac pokazuje smjer djelovanja magnetske sile.

Lorentzova je sila dobila ime po nizozemskom fizičaru Hendriku Antoonu Lorentzu.

Lorentzova sila u analitičkoj mehanici

Lagrangian za česticu s masom $m$ i nabojem $q$ u elektromagnetskom polju opisuje dinamiku čestice pomoću funkcionala njegova skalarnog i vektorskog potencijala, umjesto pomoću sile koja djeluje na česticu. Lagrangian koji daje Lorentzovu silu obično se piše kao

$L=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}+q𝐀\cdot \dot{𝐫}-q\varphi$

gdje su A magnetski vektorski potencijal i $\varphi$ skalarni potencijal, a r s točkom derivacija po vremenu vektora položaja, odnosno brzina čestice. Veličina $V=q(\varphi -𝐀\cdot \dot{𝐫})$ je (nepravi) »potencijal« koji ovisi o brzini. Koristeći Euler-Lagrange jednadžbu, možemo se pokazati da iz toga oblika slijedi formula za Lorentzovu silu.

Lagrangian se u pravokutnim koordinatama može raspisati kao

$L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+q(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y+\dot{z}{A}_z)-q\varphi$

Lagrangeova je jednadžba za prvu komponentu koordinata

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}$

Isto vrijedi za y i z.

Parcijalnim deriviranjem

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\ddot{x}+q\frac{\mathrm{d}{A}_x}{\mathrm{d}t}& =m\ddot{x}+\frac{q}{\mathrm{d}t}[\frac{\partial A_x}{\partial t}dt+\frac{\partial A_x}{\partial x}dx+\frac{\partial A_x}{\partial y}dy+\frac{\partial A_x}{\partial z}dz]\\ & =m\ddot{x}+q[\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}]\\ \end{array}$

$\frac{\partial L}{\partial x}=-q\frac{\partial \varphi }{\partial x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z})$

Izjednačavanjem i pojednostavljivanjem:

$m\ddot{x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z})=-q\frac{\partial \varphi }{\partial x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z})$

$\begin{array}{cc}{F}_x& =-q(\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t})+q[\dot{y}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})+\dot{z}(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z})]\\ & =q{E}_x+q[\dot{y}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀{)}_z-\dot{z}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀{)}_y]\\ & =q{E}_x+q[\dot{𝐫}\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀){]}_x\\ & =q{E}_x+q(\dot{𝐫}\times 𝐁{)}_x\end{array}$

Slično se dobije za y i z smjer.

Slijedi jednadžba za Lorentzovu silu:

$𝐅=q(𝐄+\dot{𝐫}\times 𝐁)$

U Hamiltonovom formalizmu ukupna je energija dana hamiltonijanom $H=\frac{1}{2m}(𝐩-q𝐀{)}^2+q\varphi (𝐫)$, gdje se za zalet uzima kanonska zamjena $𝐩=m\dot{𝐫}+q𝐀$. Lorentzova se formula dobije uvrštavanjem u Hamiltonove jednadžbe gibanja.