Lema o trozupcu

Predložak:Nedostaju izvori U geometriji, lema o trozupcu (rus. лемма о трезубце) povezuje trokutu opisanu, upisanu i pripisanu kružnicu.

Lema o trozupcu

Teorem

Neka je ABC trokut. Neka je I središte trokutu upisane kružnice. Neka je D sjecište Predložak:Nadcrta (simetrala kuta Predložak:Matematika) i opisane kružnice trokuta ABC. Lema o trozupcu kaže da je

$\overline{DA}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{DE}$

gdje je E središte trokutu pripisane kružnice koja dira AB, BC i Predložak:Nadcrta.

Dokaz

Kutovi nad istom tetivom:

$|\mathrm{\angle }ABI|=|\mathrm{\angle }DCA|,|\mathrm{\angle }CBI|=|\mathrm{\angle }DAC|.$

Pošto je BI simetrala kuta:

$\begin{array}{cc}& |\mathrm{\angle }DCA|=|\mathrm{\angle }DAC|\\ \Rightarrow & |AD|=|CD|,\text{ te }|\mathrm{\angle }DIA|=180^{\circ }-|\mathrm{\angle }AIB|\\ =& 180^{\circ }-(180^{\circ }-|\mathrm{\angle }IAB|-|\mathrm{\angle }IBA|)\\ =& |\mathrm{\angle }IAB|+|\mathrm{\angle }IBA|=|\mathrm{\angle }IAC|+|\mathrm{\angle }CAD|\\ =& |\mathrm{\angle }IAD|\\ \Rightarrow & |AD|=|DI|.\end{array}$

Dokažimo još da je Predložak:Matematika.

$|\mathrm{\angle }IAE|=|\mathrm{\angle }IAC|+|\mathrm{\angle }CAE|=\frac{1}{2}|\mathrm{\angle }BAC|+\frac{1}{2}(180^{\circ }-|\mathrm{\angle }BAC|)=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$

pa je Predložak:Matematika pravokutan. Točka D je jedinstvena koja zadovoljava Predložak:Matematika pa mora još Predložak:Matematika.